KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 15
8269. Lukujono 15
Matti2.1.2015 klo 01:11
Ilmeisesti Lukujono 14:ään ei jäänyt avonaisia kysymyksiä, joten siirtykäämme seuraavan pulman kera tänne.2. Jaska2.1.2015 klo 18:14
Sittenpä uuden säikeen neitsytjono esiin. Viattomuus taataan!1, 7, 11, 5, 23, 11, 35, 17, 43, 59, ?
3. Jukkis4.1.2015 klo 13:51
Tätä pariin kertaan on tullut mietittyä, mutta eipä taida aueta. Kaikki on muotoa 6n-1 tai 6n+1, ei-alkulukuja joukossa. Ei jaksa enempää miettiä.
4. Jaska4.1.2015 klo 14:03
Tässä lähinnä tarjoilin Antille tilaisuutta kokea, miten vaikea lukujonotehtävä voi olla, vaikka päättelisi oikein perusidean. Tässä tapauksessa siis saman kuin Antilla itsellään eli jakojäännökset. Ketjua pitempään seuranneet tietävät myös kiinnostuksestani alkulukuihin. Ratkeaako nyt, Antti, vai ratkeaako nyt Antti:)
5. Antti4.1.2015 klo 23:13
Jaska, lukujono-ongelman vaikeuden sait minut kokemaan. Ratkeamaan ei Antti ruvennut kuitenkaan, vaikka ongelmasi ei ainakaan vielä ratkennutkaan.
6. Jaska5.1.2015 klo 11:52
Antti, hyvä juttu, että liitoksesi kestivät. Ratkaisemisessa tarvitaan ennen jakolaskua kertolaskulla saatava jaettava ja yhteenlaskulla saatava jakaja, joka on aina jaettavaa pienempi.
7. Jukkis5.1.2015 klo 12:48
Jatkuu ..., 59, 35, 83, 41, ...
8. Jaska5.1.2015 klo 13:46
Jukkis huomasi konstruktiosäännön. Pieni jekku oli taas saman toistuminen...
9. Jaska5.1.2015 klo 19:05
Tämä(kin) jono on melkoinen aarreaitta, esim. tuplat. Pitempi pötkö, jossa alkuluvut asteriskilla.1, 7*, 11*, 5*, 23*, 11*, 35, 17*, 43*, 59*, 59*, 35, 83*, 41*, 91, 103*, 110, 110, 65, 143, 143, 77, 163*, 77, 95, 203, 101*, 215, 107*, 191*, 125, 259, 275, 263*, 299, 299, 311*, 161, 331*, 343, 359*, 347,*, 383*, 281*, 395, 169, 181*, 449*, 455, 227*, 463,*, 479*, 467*, 499*, 511, 523*, 539, 539, 275, 563, 551, 551, 305, 623, 311*, 599*, 659*, 659*, 695, 347*, 703, 347*, 731, 743*, 763, 377, ...
Tuplat tähän mennessä:
29/31, 31/37 - 59
59/61, 61/67 - 119
71/73, 73/79 - 143
149/151, 151/157 - 299
269/271, 271/277 - 539
283/293, 293/307 - 551
331/337, 337/347 - 659
Viisi ekaa jakojäännöstä samalla jaettavien alkutekijöiden rakenteella: kaksoset ja kaksosten jälkimmäinen + 6. Tästä teksiimieli päätellä, että näin on jatkossakin. AIna on kivaa, jos alkulukujen tiimoilta löytäisi jotain säännöllisyyksidä. Kaksi vikaa ihan erilaisin etäisyyksin.
10. Jaska5.1.2015 klo 23:57
Joo, kyllä noin aina jatkossakin, eikä se ole mikään alkulukujen yksinoikeus. Pätee siis kaikille parittomien lukujen kombinaatioille n*(n+2)/n+(n+2) ja (n+2)*(n+8)/(n+2)+(n+8). Ei siis mitään mystistä. No kivaa kuitenkin, että tuollaisenkin asian nyt tietää.
11. Jukkis6.1.2015 klo 11:04
Tässä nyt eniten ihmetystä aiheuttaa se, että ihanko oikeasti käsipelillä näitä lasket ja sitten käsin olet tuon luettelon kirjoittanut. Nimittäin muuta selitystä en keksi sille, että listassasi on kuusi väärää lukua. Tässä oikea jono ilman asteriskeja, sinun jonossa väärin olleet luvut merkitty _:lla:1, 7, 11, 5, 23, 11, 35, 17, 43, 59, 59, 35, 83, 41, 91, 103, _119, _119, 65, 143, 143, 77, 163, 77, 95, 203, 101, 215, 107, 191, 125, 259, 275, 263, 299, 299, 311, 161, 331, 343, 359, 347, 383, _191, 395, 169, 181, _221, 455, 227, 463, 479, 467, 499, 511, 523, 539, 539, 275, 563, 551, 551, 305, 623, 311, 599, 659, 659, 695, 347, 703, 347, 731, 743, _377, _763, ...
Kun nyt kuitenkin ymmärtääkseni tietokoneella internetin kautta näitä tänne kirjoittelet, niin eikö tällaiset lukuluettelot kannattaisi tietokoneella tuottaa ja sitten leikepöydän kautta tuoda tänne kirjoittamansa tekstin sekaan?
Ja sulkujen käyttö lausekkeissa näyttää sulle edelleen olevan ongelma.
12. Jaska6.1.2015 klo 18:40
No jäinpä nalkkiin kun en tsekannut. Yllätys, että sinä sen teit, en uskonut kenenkään viitsivän. Kiitos joka tapauksessa. Ei tule toistumaan! (Siis noin pitkä pötkö).Käsipelillä, kyllä, joten virheet olivat ellei kirkossa, niin ainakin kirkonmäellä kuulutetut. 119 listassani oikein, 110 siis näppäilyvirhe. 281 pro oikea 191 ehkä myös. 449 pro oikea 221, olen käsittämättömästi laskenut jakajaksi 452 pro oikea 450. Kahden vikan järjestyksen 763 (383*389/772) ja 377 (389*397/786) väitän oikeaksi.
13. Jaska6.1.2015 klo 18:50
Hetkinen, on siinä virhe. Multa on jäänyt pois välistä 379*383/762. Viimiset kolme ovat siis 377, 763, 377. Uusinnat voivat siis asettua sinne sun tänne.
14. Jaska6.1.2015 klo 19:54
Kaikkien parittomien tuplajonon, siis 1-3-9, 3-5-11, 5-7-13 jne jakojäännökset ovat 3, 7, 11, 15, 19, 23... eli erotuksin 4. Jonosta siis löytyy puolet alkuluvuista johtaen se luonnollisesti kysymykseen, löytyykö tuplajono myös jakojäännöksille 5, 9, 13, 17, 21.... Tämä jono sisältäisi siis oman puoliskonsa kaikista parittomista alkuluvuista. Oma pikainen kokeilu ei tuottanut tulosta.
15. Jukkis6.1.2015 klo 20:15
En edes ymmärrä, millä periaatteella tuollainen "kaikkien parittomien tuplajono" 1-3-9, 3-5-11, 5-7-13 jne. on muodostettu.
16. Jaska6.1.2015 klo 21:11
Jäi mainitsematta, että se väliluku on tuplien jaettavien yhteinen kertoja:1*3, 3*9 - 3*5, 5*11 - 5*7, 7*13 jne, jakajat siis jaettavan tekijöiden summat.
17. Jaska6.1.2015 klo 21:30
Toiselle jonolle löytyi tämmöinen kaava:(1*5)/4 - 1
(3*7)/4 - 1
(5*9)/8 - 5
(7*11)/8 - 5
(9*13)/12 - 9
(11*15/12 - 9
(13*17)/16 - 13
(15*19)/16 - 13 jne.
Parilliset jakajina ei niin nätti kuin edellinen, mutta tuplajono syntyi.
18. Jukkis6.1.2015 klo 22:18
No mä en kyllä tajua juuri yhtään mitään noista kahdesta edellisestä.
19. Jaska6.1.2015 klo 22:46
Kahden saman jakojäännöksen jonosta on siis kahdessa edellisessäkin ollut kyse. Arvelin asian olevan selvä, vaikka kukin esiintyy noissa jonon aluissa vain kerran. Tehtäviksi olisin muotoillut ne näin: miten rakentuvat jakojäännösjonot 1, 1, 5, 5, 9, 9, 13, 13... ja 3, 3, 7, 7, 11, 11, 15, 15...Nehän olisivat olleet liian helppoja vain jatkettaviksi.
20. Olavi Kivalo6.1.2015 klo 22:54
Kurkkasin tänne. Yritin hypätä vauhdissa mukaan tähän Jaskan junaan 1, 7, 11, 5, 23, 11, 35, 17, 43, 59, ? Nyt kun sen muodostamistapa lienee selvinnyt joillekin, olisi kiinnostava tietää, mikä se on. Tutntuu, että aikaa menee liikaa siihen, että yrittää ymmärtää, mitä kukin kirjoittaa.
Jos Jukkis ymmärsi "konstruktiosäännön" ja sen, että "pieni jekku oli taas saman toistuminen", niin laittaisiko sen selväkielellä, niin voisin yrittää uudelleen, ettei nyt mitään oikeesti kiinnostavaa menisi ohi.
21. Jaska6.1.2015 klo 23:22
No hemmetti, sehän jäi näköjään selittämättä. Jakojäännökset kahden peräkkäisen alkuluvun jaosta tulo/summa.(2*3)/(2+3) jakojäännös 1
(3*5)/(3+5) - 7
(5*7)/(5+7) - 11
(7*11)/(7+11) - 5 jne.
22. Antti7.1.2015 klo 06:21
Tätä minäkin (kirosanaa lukuun ottamatta) odotin heti ennen muita.
23. Jaska7.1.2015 klo 11:24
No voi veljet (siskot eivät kaiketi tätä ketjua seuraa), anteeksi lipsahdukseni. Lisään lipsahtaneen kiellettyjen listaan.
24. Olavi Kivalo7.1.2015 klo 12:00
No hätä. Helpotti. Tässä lisää tuplia.
59, 119, 143, 299, 539, 551, 659, 863, 1079, 1199, 1643, 2123, 2459, 2579, 2639, 2783, 2903, 4019, 4043, 4259, 4679, 4763, 5099, 5579, 6599, 7019, 7151, 7523, 7631, 7691, 8039, 8099, 8183, 8711, 8951, 9299, …
Ja kaupan päälle triploja
1139, 2063, 3239, 5423, 7079, 12539, 14423, …
Ja vielä yksi tetra
13403, ...
Ja niin edelleen.
25. Jaska7.1.2015 klo 12:28
Minkään monikerran viimeinen numero ei ole 5 eikä 7. Todistusta en juuri nyt vaivaudu pohtimaan.
26. Olavi Kivalo8.1.2015 klo 12:06
Tähän todisteluun en ryhdy, ettei käy niinkuin Fermat'n teoreeman aika monille todistelijoille, että menettivät järkensä (ja jotkut henkensä oman käden kautta).Kun tuo alkuperäinen jono on "aarreaitta" mm. siksi, että siinä esiintyy tuplia, niin onko se enemmän vai vähemmän aarreaitta, kun osoittautui, että siinä on tuplia, triploja, tetroja jne (ilmeisesti loputtomiin)? En oikein keksi kuinka sitä voisi työstää edelleen. Sitä, kääntyykö johonkin matemaattiseen ongelmaan paneutuminen lopulta palkitsevaksi, on usein mahdoton nähdä ennalta. Mutta sitä paremmaltahan se sitten tuntuu, jos se on sitä.
27. Jaska8.1.2015 klo 12:38
No voi veljet, onhan siinä vaikka mitä työstämistä. Esimerkiksi jaottelu samoina toistuvien etäisyyksien perusteella alajonoihin, joissa luvut ovat suuruusjärjestyksessä. Niistä saattaa löytyä jotain (omasta mielestä) antoisaa, jos ei muuta, niin kauneusarvoja:)
28. Jaska8.1.2015 klo 14:45
Alkulukuja muotoa 6n-1 ja 6n+2 on yhtä paljon (kunnes toisin todistetaan). Jukkiksen korjaaman jonon ja OK:n jatkon jakojäännökset pl. ensimmäinen 1 ovat niin ikään jompaakumpaa muotoa. Äkkiseltään luulisi, että kumpaakin on yhtä paljon. Jonon alku viittaa kuitenkin muodon 6n-1 murskaavaan n. viisinkertaiseen ylivoimaan. 70 ekan joukossa pisin miinusputki on 14, kun plussaa on pisimmilllään vain kolme peräkkäin.OK:n listan kaikki tuplat, triplat ja tetra ovat miikkoja. Juuri nyt en taida viitsiä ehtiä alkamaan pähkäillä (pöhköillä?) todistusta, että näin on äärettömiin. Luultavasti todistus on ihan yksinkertainen.
29. Jaska8.1.2015 klo 14:47
Huoh, korjaan alusta po. 6n+1
30. Jaska8.1.2015 klo 15:00
Voisiko perustua peräkkäisten alkulukujen erotuksiin. Kuudella jaollisia on vähemmän kuin kuudella jaottomia ainakin jonossa 2, 4, 6, 8, 10, 12... Kai suhteen joku on jo räknännytkin.
31. Matti8.1.2015 klo 20:22
Kyllä kai noita kaikkia on ihan yhtä paljon, siis numeroituvasti ääretön määrä. Vai onko jotakin sorttia äärellinen määrä.
32. Jukkis8.1.2015 klo 22:31
No on tämä taas kun ei ymmärrä että mitä ihmettä täällä on menossa. Jaska: "Kuudella jaollisia on vähemmän kuin kuudella jaottomia ainakin jonossa 2, 4, 6, 8, 10, 12... Kai suhteen joku on jo räknännytkin." No tosiaan. Väittäisin että parillisista luvuista joka kolmas on kuudella jaollinen, siitä voi räknätä suhteen.
Matti: "Kyllä kai noita kaikkia on ihan yhtä paljon". Siis mitä ihmeen "noita kaikkia"? Kuudella jaollisia lukuja vai?
33. Jaska8.1.2015 klo 23:56
Matti ei arvannut minun tarkoittaneen frekvenssiä. Tarkemmin funtsittuna kysymykseni "voisiko perustua jne" saa siitäkin vinkkelistä kielteisen vastauksen.Kuudella jaollisia erotuksia ovat 6, 12, 18, 24, 30, 36 jne, siis kaikki samaan 5- tai 7-alkuiseen ryhmään kuuluvien alkulukujen erotukset. Jos koko alkulukujonon kaksi peräkkäistä kuuluisivat aina eri ryhmään, olisi kuudella jaottomia erotuksia yksi enemmän, kun äärellisessä alkulukumäärässä on yhtä monta kummankin ryhmän lukua. Siis teoreettinen tasapeli.
Todellisuudessa esiintyy "putkia", joissa on vaihteleva määrä jompaankumpaan ryhmään kuuluvia lukuja. Syntyy aaltoliikkeitä, joissa toinen ryhmä on johdossa. Tästä oli pari vuotta sitten juttua, ja OK:n ja ulkolaisten laskut vahvistivat asian. Aika ajoin tulee tilanne, jossa kummankin ryhmän lukuja on taas yhtä paljon. Pitkässä juoksussa siis tasuri.
Tällä perusteella arvelen, että mainittu yllättävä jakauma ei johdu peräkkäisten alkulukujen erotusten frekvensseistä.
34. Jaska9.1.2015 klo 00:16
Vielä tarkemmin ajatellen (mihin tämä tarkentuminen lopulta johtaakaan:D) puhuin äsken kuustatimoteitä. Siinä teoreettisessa tapauksessa kuudella jaottomat tietysti voittaisivat ziljardi nolla. Todellisuudessa putket siis tasoitta(ne)vat tilanteen.
35. Jaska9.1.2015 klo 11:53
Koska aatokset herkästi sekoavat, on parempi keskittyä pelkkään havainnointiin. Se paljastaa, että jakojäännökset muotoa 6n+1 syntyvät jaettavan molempien tekijöiden ollessa muotoa 6n-1 ja niiden erotuksen ollessa kuudella jaollinen. Sellaisia kombinaatioita on siis selvästi vähemmän kuin muita kombinaatioita yhteensä.
36. Matti9.1.2015 klo 19:05
Jukkis, "mitä ihmeen noita kaikkia?" Tarkoitan siis ihan kaikkia Jaskan eri osajonojen lukuja paitsi niitä osajonoja, joissa on vain äärelllinen määrä lukuja. Esim. kuudella jaollisia lukuja on yhtä paljon kun kaikkia muitakin lukuja, vaikka frekvenssit menevätkin 1:5. Osajonossa 1, 10, 100, 1000, ... on yhtä monta lukua kun jonossa 1, 2, 3, ... , vaikka frekvenssit menevätkin nollaan, vai puhummeko nyt ihan ohi toisiemme?
37. Jaska9.1.2015 klo 21:49
Voi veljet, minulta jäi tarkentamatta, että frekvenssin lisäksi todisteluyritykseni perustui havaintoihin äärellisistä jonoista.
38. Jaska9.1.2015 klo 21:56
Sitä paitsi, äärettömyyttä kyseisessä peräkkäisten alkulukujen erotuksissa ei ole todistettu. Se on vain uskottavan tuntuinen otaksuma.
39. Jaska20.1.2015 klo 22:23
Seuraava ei ehkä uutuus, mutta kertaus tuskin haittaa. Miten tämä alkulukujono määräytyy?5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 563, 587...
40. Antti23.1.2015 klo 13:44
Jaska on tapansa mukaan kysynyt vaikeaa. Tarjoan ehkä helpomaa purtavaa.
3, 10, 21, 36, 55, 78, 105, ?
41. Matti23.1.2015 klo 14:37
Toisen asteen pölynomi, vai onko?
42. Matti23.1.2015 klo 14:37
Toisen asteen pölynomi, vai onko?
43. Jaska23.1.2015 klo 16:38
Antin seuraava 136.Oma helpottuu aloitettaessa ratkonta vähennyslaskulla. Jakolaskukin käy vallan mainiosti.
44. Antti23.1.2015 klo 20:01
a(j)=j+2*j^2
45. Jaska25.1.2015 klo 23:35
Vähentäjä ja jakaja eivät ole suuria.
46. Jukkis26.1.2015 klo 08:07
Varmaankin seuraava on 719.
47. Jaska26.1.2015 klo 12:13
Niin on. Jonon alkuluvut ovat muotoa 2p+1.Ilmeisesti jono on ääretön. Erityisen kiinnostavia ovat tapaukset, joissa sekä kerrottava alkuluku että sen tupla+1 kuuluvat kaksosiin. Näiden kaksosten isompi osapuoli on siis muotoa 2n-1. Ne ovat harvassa, kolme ekaa ovat 5,7/11,13 - 29,31/59,61 - 659,661/1319,1321. Kerrottavien kuudella jaolliset väliluvut ovat 6*1, 6*10, 6*110. Seuraava(t)?
48. Jaska26.1.2015 klo 12:33
Aatokset taas lipsuivat, tokan kertoman piti tietysti olla 6*5 ja tuplien siten 6*2, 6*10, 6*220.
49. Jaska26.1.2015 klo 13:11
Kolme seuraavaa:809,821/1619,1621
2129,2131/4259,4261
2549,2551/5099,5101
6*:
6*135/6*270
6*355/6*710
6*425/6*850
50. Jaska27.1.2015 klo 14:04
Neljä kaksostapausta lisää:3299,3301/6659,6661
3389,3391/6779,6781
6269,6271/12539,12541
10529,10531/21059,21061
51. Matti29.1.2015 klo 21:04
Muistellaan vähän menneitä:"Lähettäjä: Jukkis 19.12.2014 klo 22:33
Se että kiertoaika on sama kuin edestakainen aika läpi ja tuo "on joka hetki maan pintaa pyyhkivän, napojen kautta kulkevan, satelliitin projektio Maan pyörimisakselilla" ei kyllä ole ainakaan minulla mitenkään itsestään selvää. Kaavoistahan se tietysti seuraa, mutta onkohan tuolle joku ilman kaavoja esitettävissä oleva ihan järkeilyyn perustuva selitys?
Lähettäjä: Matti 20.12.2014 klo 19:58
Jukkiksen kysymystä itsekin pohdin, siis näkeekö suoraan vai pitääkö laskea, mutta en keksinyt (vielä?) ratkaisua."
Ei nyt ihan ilman kaavoja tai laskemista näe, mutta näin asiaa voisi valaista. Lasketaan satelliitin ratanopeus v1, ja kuulan maksiminopeus keskipisteessä v2. Ne osoittautuvat yhtä suuriksi. (Seuraavassa R on Maan säde, ja g vetovoiman kiihtyvyys maan pinnalla.)
Satelliitin voimatasapaino: mv1^2/R=mg, siis v1=sqr(Rg)
Olkoon kuulan potentiaalienergia maan pinnalla E. Jos vetovoima olisi vakio navalle asti, olisi E=mgR. Mutta se ei ole, vaan maapallon sisässä, harmoonisessa voimakentässä, missä F=-kx, se pienenee lineaarisesti ->0, joten E=mgR/2. Keskipisteessä tämä kaikki on liike-energiaa, jolloin mgR/2=mv2^2/2, eli v2=sqr(Rg)=v1.
Nut kuulan alkunopeus on = 0, ja samoin satelliitin projektion pystykomponentin alkunopeus = 0, molemmat suorittavat harmoonista liikettä, ja molemmilla on Maan keskipisteessä sama maksimiarvo v1=v2, joten alkuperäinen väite on täten perusteltu.
Nyt, varsinkin kaiken tämän kirjoittamisen jälkeen, joudun tietysti kysymään, että näkikö tämän suoraan, vai pitikö silti laskea. Jääköön kysymys avoimeksi.
52. Matti30.1.2015 klo 15:42
Siis, jos vetovoima olisi vakio maan keskipisteeseen asti ...
53. Olavi Kivalo30.1.2015 klo 20:31
Tuo pohdinta, pitäisikö pystyä päättelemään lähtien ilmiön perimmäisistä mekanismeista, vai riittääkö, että turvautuu annettuihin kaavoihin, on terve merkki. Jälkimmäinen on toisten formuloimien ongelmien ratkaisua, joka ei edellytä perimmäisten mekanismien ymmärtämistä eikä täten anna valmiuksia päätellä uusissa tilanteissa.Entropia on hyvä esimerkki siitä, kuinka vaikeaa käsitettä ei ole pystytty tekemään ymmärrettäväksi aksiomattisella tavalla, koska sitä on kautta aikojen opetettu lyömällä määrittelykaavat pöytään.
Tässä ongelmassa, jonka pyörittelyä en ole seurannut alusta saakka, on pakollisia idealisointeja niin paljon (mukaan luettuna navalta navalle ulottuva reikä), että maan massa voidaan ajatella keskitetyn sen keskipisteeseen ja unohtaa koko reikä, jolloin ongelma redusoituu, kuten on jo todettu, klassiseen harmoniseen värähtelijään. Jos ajatellaan keskipisteen suhteen liikkuvan massapisteen joko lähestyvän keskustaa kohtisuoraan (a) tai kiertävän keskipistettä ympyrärataa (b), niin b:ssä ratanopeuden a:n suuntainen komponentti on aina sama kuin a:n nopeus. (Gravitaatio ja keskipakovoima pitävät kiertolaisen radallaan.)
54. Matti1.2.2015 klo 17:39
Ei tässä maata voi redosoida keskipisteeseen. Vetovoima ei silloin olisi harmooninen F=-kr vaan gravitaatiovoima F=-fMm/r^2.
55. Jaska1.2.2015 klo 18:20
Jäi mieleen, että kuulan matkaan navalta navalle kului 42 minsaa ja risat (mikä aika muuten keskipisteeseen?). Ja että edestakainen reissu jatkuu ja jatkuu. Siis toisin kuin olin muistavinani jostain lukeneeni, että se pysähtyy lopulta keskipisteeseen.Ikiliikuntateorian mukaan kuulan nopeuden pitää olla reiän päissä hetkellisesti nolla. Onko se täsmälleen maan pinnalla (oletetaan että reikä on mantereelta mantereelle tasangolla kummassakin päässä), vai reiän yläpuolella ja kuinka paljon? Pinnan alapuolellehan se ei voi jäädä.
Mutta kuula voi todellakin jäädä myös keskipisteeseen. Missä tapauksessa? (Knoppi)
56. Matti1.2.2015 klo 21:59
Idealisoidussa tapauksessa kuula palaa alkuasemaansa, ja jatkaa sitten ikuista harmoonista liikettä. Jos kuula kokee esim ilmanvastusta, värähtely on vaimenevaa, ja kuula pyshtyy äärettömän pitkän ajan kuluttua keskipisteeseen, löysästi ilmaistuna.
57. Jaska1.2.2015 klo 22:46
Knopin ratkaisu: samanaikaisesti kuulamme kanssa pudotetaan toinen samanpainoinen kuula reiän toisesta päästä. Keskipisteessä kohdatessaan ne musertavat toisensa ympäristöönsä sekoittuvaksi metallitöhnäksi. Edellytyksenä on siis niin kapea reikä, että kuulat törmäävät toisiinsa samassa suorassa linjassa.
58. Matti2.2.2015 klo 01:19
Idealisoidussa tapauksessa törmäys on tietenkin täysin kimmoisa, ja kuulien vastakkainkilkuttelu jatkuu hamaan maailman tappiin 😊
59. Jaska20.2.2015 klo 12:01
5, 7, 11, 13, 23, 31, 41, 67, 149, ?Vihje: Shinichi Mochizuki keksisi (muistaisi?) heti kaksi vaihtoehtoista jatkoa.
60. Olavi Kivalo23.2.2015 klo 20:50
Jos tätä yrittää lähestyä siitä päästä, mitä Shinichi Mochizuki heti keksisi tai muistaisi, niin eipä heti keksi. Varsinkaan, jos kuvittelee, että tämä jono liittyy ABC-konjektuuriin.
61. Jaska23.2.2015 klo 22:48
Ei liity suoranaisesti, mutta sai kimmokkeen viime perjantain Helsingin Sanomien artikkelin "Abc-ratkaisusta tuli iso ongelma" kautta. Tehtävä on toki kohtuuttoman vaikea juttua lukemattomalle.Siteeraan:
"Vuonna 1985 esitetty abc-otaksuma sai nimensä yksinkertaisesta yhtälöstä a+b = c. Se koskee näiden kolmen kokonaisluvun alkutekijöiden, siis alkulukjen välistä yhteyttä. Abc-otaksuma esittää tietyn säännönmukaisuuden alkulukujen joukossa."
Minun keskiviikkoisessa jonossani yhteenlaskettavat a ja b ovat jonon peräkkäisiä alkulukuja kuten monasti ennenkin. Niissä ei siis mitään uutta. Sen sijaan summa c liittyy sen alkutekijöihin, joilla on yhteinen ominaisuus. Tämä on muistaakseni uutta tässä ketjussa. Tässä c:llä on vain kaksi eri alkutekijää, 2 ja 3. Mitään erityisen kiinnostavaa en lyhyestä jononpätkästä kekannut. Sopi kuitenkin mielestäni pähkäiltäväksi.
Toinen sitaatti:
"Mochizukin teorialla olisi kuitenkin valtavat seuraukset matematiikassa. Siitä esimerkiksi seuraisi suoraan uusi todistus matematiikan kenties kuuluisimmalle ongelmalle, Fermat'n suurelle lauseelle."
Toivottavasti uusi todistus on ekaa helppotajuisempi. Olen lukenut sitä käsittelevän kirjan suomennoksen, mutta en niistä Wileyn toruksista sun muista pinnoista onnistunut jyvälle pääsemään.
Tulihan tuota vähän pähkäiltyä lukemattomien muiden tapaan ennen Wileyn todistusta. Kiinnostavia havaintoja vailla todistusarvoa. Panen tässä joutessani yhden tähän alkutekijähommeliin liittyvän näytille. On kaiketi matemaatikoille entuudestaan tuttua tavaraa.
62. Olavi Kivalo24.2.2015 klo 22:42
Myönnettäköön, että näin sen verran vaivaa, että kävin läpi kaikki ABC-triplat kolmessa kategoriassa: unbeaten, quality ja merit, koska Jaskan lukujonossa esiintyvät luvut muistuttavat niitä puolialkulukuja suuruusjärjestyksessä, joiden potenssien tulona näiden triplojen termit muodostuvat. Ei tietenkään löytynyt. Joitakin muistuttavia löytyi, kuten seuraava unbeaten triplan C, jonka (puoli)alkuluvut ovat:
2, 3, 5, 11, 23, 41, 43, 47, 67, 73, 83, 89, 101, 149, 193, ...
Seikkailin siis eri avaruudessa kuin Jaska.
63. Olavi Kivalo25.2.2015 klo 12:26
Hetkeksi aivan toiseen aiheeseen. Olen aiemmin kritisoinut useaan otteeseen sitä, että OEIS on julkaissut ja julkaisee edelleen lukujonoja "annetaan-kaikkien-kukkien-kukkia"-periaatteella. Tämä politiikka sallii lukujonoluokkien instanssien hyväksymisen, vaikka useimmissa tapauksissa niitä voi kustakin luokasta generoida rajatta.OEIS toimii alati paisuvana jokseenkin järjestäytymättömänä lukujonopankkina, jonka avulla voi mekaanisesti verrata omaa lukujonopätkäänsä siellä oleviin. Jos ei löydy samanlaista, niin voi tarjota omaansa julkaistavaksi.
Ihmettelin täällä 3.5.2014 "voidaanko luoda järjestelmä (muu kuin ihminen), joka annetusta lukujonon pätkästä generoisi ehdotuksia lainalaisuuksista, joista lukujono voisi juontua?", ja 4.5.2012 klo 16:20 esittelin tähän tarkoitukseen kehitetyn käänteisen yhtälönratkaisijan RIES, jonka käyttökelpoisuuden totesin muutamalla esimerkillä erittäin rajoitetuksi. Heitin tuolloin ajatuksen, että "jonkinlainen brute force hakukone ehkä olisi mahdollinen".
Toissapäivänä esiteltiin algoritminen (brute force) järjestelmä, joka on luotu vastaamaan kysymykseen "which formula generates this number sequence?" ja täydentämään mm. OEIS:n hakujärjestelmän database lookup -menetelmää. Järjestelmän tehoa on jo ehditty kritisoida, mutta annan linkit, jos joku olisi kiinnostunut.
64. Olavi Kivalo25.2.2015 klo 13:27
Tämä on linkki helppokäyttöisen nettiversioon_www.sequenceboss.org
Sen teho on aika rajattu.
65. Olavi Kivalo25.2.2015 klo 13:35
Kun laittaa inputiksi tuon Antin yllä antaman 3,10,21,36,55,78,105,…
saa vastauksen oitis:
Result
SequenceBoss thinks the sequence
(an)n≥1=3,10,21,36,55,78,105,…
is generated by
an=n(1+2n)
If true, the sequence continues
3,10,21,36,55,78,105,136,171,210,253,300,…
66. Olavi Kivalo25.2.2015 klo 14:12
Kuinka jatkuu?11, 47, 123, 214, 257, ...
67. Olavi Kivalo25.2.2015 klo 14:15
Kuinka jatkuu?1, 1, 1, 3, 5, 15, 43, 273, ...
68. Jaska25.2.2015 klo 22:54
Vaikealta näyttää. En sentään vielä turvaudu lunttaukseen.
69. Jukkis25.2.2015 klo 23:12
Jälkimmäinen on mainitulle sekvenssipomolle liikaa: Search space exhausted; no formula found.Ekalle se löytää aika simppelin kaavan.
70. Jukkis25.2.2015 klo 23:15
... jotka simppeli kaava kyllä on varmaan aika mahdoton keksiä.
71. Jaska25.2.2015 klo 23:24
Aion silti yrittää. Jos sen simppelinä kaavana voi ilmineerata, se ei liene ihan mahdoton.
72. Olavi Kivalo25.2.2015 klo 23:43
Sequencer on järeämpi versio. Se antaa ratkaisun jälkimmäiselle:a(1) = 1
a(2) = 1
a(3) = 1
a(n) = a(n-2)^2+a(n-1)+a(n-3) for n >= 4,
josta saadaan jatko
2137, 76709, 4643751, 5888916569, 21570312343279, ...
73. Jukkis26.2.2015 klo 13:41
Ei oikeaoppinen lukujono, koska on äärellinen. Mitkä kolme lukua puuttuu lopusta?119, 119, 119, 46, 115, 97, 110, 97, 114, 105, 115, 116, 105, 107, 111, 116, 46, ...
74. Matias-Myyrä26.2.2015 klo 13:48
Puuttuu 110, 101 ja 116
75. Jaska26.2.2015 klo 14:08
En äkkiseltään tajunnut Jukkiksen jujua. Funtsailin pari tuntia tätä 11, 47,.. vailla tulosta ja kyllästyin. SequenceBoss selvitti sequencen sekunneissa. Tunsin itseni pahasti höynäytetyksi. Höynähdyin siis luulemaan, että seuraava on edellistä isompi.Niin kuin oletin, Bossi ei tunnistanut seuraavaa, jossa kaksi ekaa samat:
11, 47, 95, 251, 479, 959, 1595... = 2*3+(2+3), 5*7+(5+7), 7*11+(7+11) jne.
Seuraavan oletin Bossille olevan kevyttä kamaa, joten uupumisilmoitus yllätti. Mistä kyse?
31, 211, 781, 2101, 4651, 9031, 15861, ?
76. Jaska27.2.2015 klo 21:53
Kävi vanhanaikainen eli näppäilyvirhe. Pitää olla 15961. Pahoittelut siinä tapauksessa, että jonkun ratkonta on tyssännyt siihen. Se on kuitenkin epätodennäköistä, sillä virheen huomaa helposti perinteisellä ratkontakonstilla. Pitempi, huo-lel-la oikeaksi tsekattu pätkä: 31, 211, 781, 2101, 4651, 9031, 15961, 26281, 40951, 61051, 87781, 122461, 166531, 221551, 289201, 371281, 469711, 586531, 723901, 884101, 1069531, 1282711, 1526281, 1803001, 2115751, 2467531, 2861461, 3300781, 3788851, 4329151, 4925281...
Jono ei ole OEIS:ssä. Syy voi olla, että sitä ei ole kukaan tarjonnut, tai jos on, ei ole kiinnostamattomana hyväksytty. Ehkä tämän tyyppisiä jonoja ei ole siellä lainkaan. Ketjussahan tätä tyyppiä on ollut usein.
Äärettömän jonon kaikki luvut, päättyvät siis numeroon 1. Jonon jaollisten lukujen kaikki alkutekijät päättyvät niin ikään numeroon 1. Luvut ovat muotoa 6n+1.
77. Olavi Kivalo28.2.2015 klo 09:12
10*n*(n+1)*(n^2+n+1)/2+1Jatkuu:
5580961, 6300031, 7086451, 7944301, 8877781, 9891211, ...
78. Olavi Kivalo28.2.2015 klo 09:23
Ei liene edes tarjottu yksinkertaisesti siksi, että jono on simppeli muunnos OEIS-jonosta n*(n+1)*(n^2+n+1)/2 (A110450)
79. Jaska28.2.2015 klo 10:36
Tyyppi, jonka arvelin OEIS:ssä esiintymättömäksi, on erotusjono. En keksinyt hakea esittämäni erotusjonon em. muunnosta, joka siis käsittää luvut (6n-1)/10. Kaava 9:12 ei ole kuitenkaan tarkoittamani vastaus kysymykseeni "Mistä on kyse?"Kyse on viidensien potenssien 1, 32, 243, 1024... erotusjonosta. Tämä lukujen ykköseenpäättyvyysominaisuus on erotusjonoilla n^5, n^25, n^125, n^625 jne.
Vastaavan jonon 6n-1 lukujen alkutekijät päättyvät säännönmukaisesti numeroihin 1 ja 9. 6n-erotusjonon luvuissa esiintyy "rytmikkäästi" kaikkia alkutekijöitä.
80. Jaska28.2.2015 klo 10:47
Äh, muunnoksessa siis luvut 6n/10, kun jonon luvut ovat 6n+1.
81. Olavi Kivalo28.2.2015 klo 11:34
"Erotusjono" on (n+1)^i - n^i , jossa i=5 ,25 ,125, … ?Esim, kun i=5
(n+1)^5 - n^5 = 5*n^4 + 10*n^3 + 10*n^2 + 5*n + 1,
joka on
10*n*(n + 1)*(n^2 + n + 1)/2 + 1 =
5*n*(n + 1)*(n^2 + n + 1) + 1
82. Olavi Kivalo28.2.2015 klo 11:57
Mitä alkulukujen rytmiin tulee, niiden sijainti jonossa on seuraava:1, 2, 5, 10, 16, 19, 24, 27, 30, 31, 34, 35, 41, 44, 46, …
(Ei OEIS:ssa :-))
83. Jaska28.2.2015 klo 12:40
Tuota jonoa kutsuisin epärytmikkääksi. Rytmiä on esim. seuraavassa:2, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 28...
6n-jonon seitsemällä jaollisten järjestysnumerojono ompi se. Rytmikkyydestään huolimatta jääköön tarjoamatta OEIS:ään:)
84. Olavi Kivalo28.2.2015 klo 16:15
Rytmi (tai rytmikkyys) ei kuulu varsinaisesti matemaattiseen terminologiaan verrattuna esimerkiksi jaksollisuuteen. Olisi kiinnostava kuulla, mitä kenenkin mielestä tietynlaisten termien esiintymisen rytmikkyys lukujonossa tarkoittaa, jos se on jotain muuta kuin jaksollisuus. Ei matematiikkakaan, vaikka on formaali kieli, ole tyystin tyly kvalitatiivisille luonnehdinnoille. Matemaatikot itse puhuvat mm. teorian eleganssista, joka on määre, josta on vaikea saada kvantitatiivista otetta.
Olisiko rytmi tässä yhteydessä jotain sellaista, joka koetaan vain henkilökohtaisella tasolla?
85. Jaska28.2.2015 klo 20:45
Luultavasti näin on. Kuvataan perusrytmiä yhden seitsemän luvun jakson plussilla ja miinuksilla, jossa plussat seiskalla jaollisia, miinuksen eivät: - + - + - + + = taTAtaTAtaTAA. Isot TA ja TAA painottaen kvarttia ylempää, esim. g-c.
86. Antti6.3.2015 klo 09:13
0, 8, 8, 96, 96, 104, 104, 992, 992, ?
87. Jaska6.3.2015 klo 22:15
Antilla haisee knopilta, joten vastaan 0. Sen sijaan kaavasta ei lehahda nenuuni vienointakaan aromia.Vähän tai todennäköisemmin paljon helpompi, mutta silti viehättävä tehtävä:
2, 7, 29, 71, 73, 251, ?
88. Antti7.3.2015 klo 07:16
6.3.2015 klo 09:13 ratkeaa erään muun lukujärjestelmän kuin kymmenjärjestelmän pienimpiä luonnollisia lukuja käyttäen. Kuitenkin seuraavassa laskennassa näitten pienten lukujen kuvitellaan olevan kymmenjärjestelmän lukuja. Ratkaisu saadaan kaavasta.
89. Jaska7.3.2015 klo 11:10
Kokeilu binäärillä ei kantanut hedelmää, mutta ehkä minun kasvupohjani ei vain ole tarpeeksi hyvin lannoitettu:)Oma (?) helppo jononi ratkeaa yhteenlaskulla ja alkulukulistalla.
90. Jaska7.3.2015 klo 11:11
Kokeilu binäärillä ei kantanut hedelmää, mutta ehkä minun kasvupohjani ei vain ole tarpeeksi hyvin lannoitettu:)Oma (?) helppo jononi ratkeaa yhteenlaskulla ja alkulukulistalla.
91. Jaska8.3.2015 klo 23:15
Binääri sittenkin, kun tarkemmin katsoo. Olin viimeksi hieman kiireinen. Siis: 1-1 = 0, 10-2 = 8, 11-3 = 8, 100-4 = 96, 101-5 = 96 jne. Mukava juju, mutta olisihan se pitänyt hoksata ilman lisävinkkiäkin:(
92. Antti9.3.2015 klo 08:45
Ja niin edelleen. Kysymysmerkin paikalle tulee pyöreä luku, 1000.... 110-6=104, 111-7=104, 1000-8=992, 1001-9=992, 1010-10=1000, ...
93. Jaska10.3.2015 klo 11:32
Seuraava alkaa luvulla 1, mutta jatkuu konklusiivisesti samoin kuin 6.3. 22:15. Mikä on kummankin jonon konstruktiosääntö, Antti?1, 3, 13, 23, 41, 59, 137, 263, 313...
94. Antti21.3.2015 klo 08:07
Jaska ja toiset, jospa toiset ratkaisisitte.Tarjoan tällaista:
1, 4, 9, 3, 12, 10, 10, 12, 3, 9, 4, 1, ?
95. Jaska21.3.2015 klo 12:03
Hmm, onhan tuo symmetrisyydessään vaikealta vaikuttava, jos se siis jatkuu. Funtsin sitä myöhemmin. Tod. näk. joudun luovuttamaan.Omat kaksi edellistä rakentuvat samalla kahden peräkkäisen summan perusidealla kuin seuraava perin tuttu jono, jossa ei pelata alkuluvuilla.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45... Mitä ovat kahden peräkkäisen summat?
96. Jaska21.3.2015 klo 22:16
Palasin Antin jonoon Uutisvuodon aikana, kun se ei oikein jaksanut kiinnostaa. Arvaus symmetrian liittymisestä jakojäännöksiin ja jatko 0 osui oikeaan. Resti n^2/13.
97. Antti22.3.2015 klo 05:29
Hyvä, Jaska!a(j) = JAKOJ(j^2;13)
a(13) = 0.
98. Antti22.3.2015 klo 08:19
Jaskan jono: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45a(j) = 1 + 2 + ... + j = j*(j+1)/2
99. Jaska22.3.2015 klo 10:52
Todetaan nyt vielä varmemmaksi vakuudeksi, että jonon kahden peräkkäisen summat = peräkkäisten neliöiden jono suuruusjärjestyksessä.
100. Jukkis24.3.2015 klo 22:41
Ei varsinainen jonotehtävä, vaan tällainen askartelu:Tee kolminumeroisista (ei nollalla alkavia) luvuista mahdollisimman pitkä syklinen ketju, jossa joka toinen luku on kolmioluku ja joka toinen on neliöluku ja jossa aina seuraavan luvun eka numero = edellisen luvun vika numero ja jossa mikään luku ei esiinny kahdesti. Esimerkiksi 121-136-625-561 täyttää vaatimukset, paitsi ei ole mahdollisimman pitkä. (Syklinen: vikan luvun vika numero = ekan luvun eka numero.)
101. Jaska24.3.2015 klo 23:34
Helppo petrata nelilukuisesta: 121-105-529-903-324-406-665-561. hajuakaan, kuinka pitkä on mahdollinen. Arvaan, ettei kuitenkaan maksimi 41 lukua ole mahdollinen, hyvä jos puoleenkin ylletään..
102. Jaska25.3.2015 klo 08:44
Olinpa taas yössä viime yönä. Nollaan päättymättömiä kolminumeroisia neliöitä on 19 kplm joten tarkoittmani maksimi on 39 jonon alkaessa kolmioluvulla. Niitä pitäisi siis olla 20 sopivaa.
103. Jaska25.3.2015 klo 12:30
Korjaus. Yöllisen jonon viimeistä edellinen on päivänvalossa 625.Sekä neliöillä että kolmioluvulla on viisi eri loppunumeroa. Niiden kombinoiminen kokeilemalla yhdeksään alkunumeroon syklisäännön toteuttaen on kyllä aika työläs homma. Jään odottelemaan edellisen ylitystä ja yritän sitten petrata sitä. Jono saa kai alkaa kumman tahansa ryhmän luvulla?
104. Jaska25.3.2015 klo 19:47
Jäipä aiemmin hokaamatta, että kahdella ja seitsemällä alkavat neliöt eivät ole mahdollisia. En usko, että loput 15 mahtuisivat samaan jonoon. 14-pituinen jono onnistui aika helposti, mutta siihen ei ole tyytyminen. Syynäillään vielä.
105. Jukkis25.3.2015 klo 22:59
Maksimipituus on 38 koska jos ketju alkaa kolmioluvulla niin sen pitää loppua neliöluvulla. Ja päinvastoin. Muuten "joka toinen" -vaatimus ei toteudu.Minulla muuten ei ole tiedossa, mikä on pisin mahdollinen ketju. Näin tämän tehtävän vanhassa New Scientist -lehdessä, eikä siellä kerrottu vastausta.
106. Jaska26.3.2015 klo 11:52
Kyllä se joka toinen toteutuu mielestäni esim. jonossa 1,2,3,4,5,6,7. Parillisten ja parittomien määrä ei ole siinä sama. Eri juttu on tietysti, jos ko. jonon luojan sääntö edellyttää samaa määrää neliöille ja kolmioluvuille.Maksimipituus ei voi olla 38, koska kaikki 10 numeroa 0-9 eivät esiinny neliöiden eivätkä kolmiolukujen viimeisinä. Kolmiolukuihin kombinoimiskelpoisia neliöitä on 14 (eilinen 15 oli siis väärin räknätty). Ne ovat 121, 144, 169, 196, 324, 361, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 841, 961. Jonon maksimipituus olisi siis 28 termien parillisuussäännöllä, jos keikkien neliöiden kombinoiminen kolmiolukuihin samaan jonoon onnistuisi. Sinänsä kelvollisista 18:sta kolmioluvusta 105, 136, 153, 171, 325, 351, 378, 406, 435, 464, 496, 528, 561, 595, 666, 861, 903, 946 ei kuitenkaan näytä olevan mahdollista löytää samaan jonoon paria kaikille.
Oma rekkani on siis vain 14 lukua (15, jos parittomuus olisi sallittua):
625, 528, 841, 171, 121, 153, 324, 435, 529, 903, 361, 105, 576, 666, (676).
Kombimoimiskelpoiset kolmiluvut ovat 105, 136, 171,
Kombinoimiskelpoisia kolmiolukuja on 18:
107. Jaska26.3.2015 klo 11:55
Sori, ylimääräiset vihreelliset jäivät poistamatta.
108. Jukkis26.3.2015 klo 16:27
Sanomalla että "maksimipituus on 38" vaan korjasin sinun virheellisen väittämän "maksimi on 39 jonon alkaessa kolmioluvulla".Ketjun pitää olla sylkinen, joten tuossa sinun edellisessä ehdotuksessa suluissa oleva 676 ei enää kelpaa joukkoon, koska vaatimus "joka toinen" ei toteudu.
Ennätys siis tähän mennessä 14. Ei ole minulla ainakaan vielä parempaa tarjota.
109. Jukkis26.3.2015 klo 20:13
Edellä näköjään lukee että "sylkinen". Hyi olkoon, ei sentään tarvi sellainen olla ketjun.Voidaan lopettaa. Lievällä googlailulla tämä pähkinä ratkaisuineen löytyi. Siinä on listattu kaksikin Python-kielistä ohjelmaa ratkaisun hakemiseksi. On kyllä helkutan elegantti kieli tuo Python, pitää kyllä jossain vaiheessa ottaa haltuun.
Jaska löysi ilman Pythoniakin pisimmän eli 14 lukua. Erilaisia 14:n pituisia on useampia kuin yksi.
Seuraava tehtävä: Etsi netistä tuo ratkaisu.
110. Jaska9.4.2015 klo 13:31
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870...Mikä on jonon kahden peräkkäisen 1/2, 2/6 jne suhteen raja-arvo?
111. Olavi Kivalo9.4.2015 klo 20:42
Lähestyy arvoa 1/4.
112. Olavi Kivalo9.4.2015 klo 21:21
Perustelu:lim(n->oo) n/[4*(n-1)+2] = 1/4
113. Jaska9.4.2015 klo 22:04
1/4 = 0,25 oikein. Pascalin kolmion keskisarakkeen luvut.
114. Olavi Kivalo10.4.2015 klo 10:44
Kuulostaa tylsältä, kun ratkaisu löytyykin valmiina toisen (herra Pascalin) konstruktiosta. Oli niin kiva etsiä ja löytää ratkaisu ihan omin päin.
115. Jaska10.4.2015 klo 11:35
Omin päin minäkin sen löysin, vaikka luvut olivat valmiina. Tietysti olisi ollut kunniakkaampaa löytää koko kolmio ennen Pascalia vai oliko hänkään eka.Myös keskisarakkeen viereisten sarakkeiden vastaava raja-arvo on 1/4, mikä nähdään suoraan kolmiosta. Kohti laitoja tarvitaan taas laskentaa.
116. Jaska10.4.2015 klo 11:38
Kohti laitoja paremmin: ulommaksi keskeltä.
117. Olavi Kivalo10.4.2015 klo 16:28
Joo, ei kolmiota kannata keksiä uudelleen.
118. Matti16.4.2015 klo 23:30
Facebookissa oli ihan kiva tehtävä, "Singaporen painajainen": C arvuuttelee syntymäpäiväänsä A:lta ja B:ltä. Hän antaa syntymäpäiväkseen kymmenen vaihtoehtoa:toukokuun 15, 16 tai 19
kesäkuun 17 tai 18
heinäkuun 14 tai 16
elokuun 14, 15 tai 17
Sitten hän kertoo A:lle oikean kuukauden ja B:lle oikean päivän.
Kohta A sanoo: en tiedä ratkaisua, mutta eipä tiedä B:kään.
Sitten B sanoo: siispä tiedän nyt ratkaisun.
Sitten A sanoo: siispä tiedän minäkin nyt ratkaisun.
Mikäpä siis oli C:n syntymäpäivä?
Ei kerrota heti ratkaisua, hepitetään ensin.
119. Jukkis17.4.2015 klo 08:58
Hep.
120. Olavi Kivalo17.4.2015 klo 09:14
Hep
121. ake17.4.2015 klo 10:16
Hep. Se on minunkin syntymäpäivä:)
122. Jaska17.4.2015 klo 10:50
Hep
123. Matti17.4.2015 klo 20:43
Eiköhän se ole tässä. Ratkaisu on heinäkuun 16.19. ja 18. päivä esiintyy vain kerran, joten touko- ja kesäkuu ovat poissuljetut, koska A oli varma, että B ei tiedä ratkaisua.
Nyt B sitten tiesi ratkaisun. Päivä ei voinut olla 14, koska se esiintyi sekä heinä- että elokuussa.
Ja sen täytyi olla heinäkuun 16, koska sitten A:kin tiesi ratkaisun. (Jos se olisi ollut elokuun 15. tai 17. päivä, A ei olisi voinut tietää ratkaisua.)
124. Matti27.4.2015 klo 18:08
Lätkän SM sitten ratkesi. Loppukilpailupari oli Kärpät-Tappara, ja joukkueiden piti pelata keskenään niin monta ottelua, että jompikumpi saavutti 4 voittoa. Ottelujen mahdollinen määrä oli siis 4, 5, 6 tai 7.Nyt tarvittiin 7 ottelua. Mikä on tämän todennäköisyys, jos joukkueet ovat aivan tasaväkiset, ja kunkin ottelun voittava joukkue voi todennäköisyydellä 0,5 olla kumpi tahansa?
125. Matti27.4.2015 klo 18:13
Yleisesti otteluita pelataan siis vähintään 4 ja enintään 7. Kuinka monta keskimäärin?
126. Antti27.4.2015 klo 20:03
0,25
127. Antti27.4.2015 klo 20:10
0,25 on toiseksi viimeiseen Matin kysymykseen vastaukseni,5,5 viimeiseen.
128. Jaska27.4.2015 klo 20:23
Mulla matseja/tod.näk.: 4/0,125, 5/0,25, 6/0,3125, 7/0,3125, keskimäärin 5,8125 matsia.
129. Matti27.4.2015 klo 22:54
Joo, samaa mieltä Jaskan kanssa.
130. Matti28.4.2015 klo 21:38
Tämä ei nyt välttämättä kiinnosta, koska on pelkkää kaavan vääntöä, mutta kysytään silti: Jos mestaruuteen tarvitaan n voittoa, niin mitkä ovat todennäköisyydetp(n,0), p(n,1), p(n,2), ..., p(n,k), ..., p(n,n-1), että mestaruuteen tarvitaan n+k ottelua?
Äsken kysyttiin todennäköisyyksiä p(4,0), p(4,1), p(4,2) ja p(4,3). Nyt kysytään samaa yleisellä tasolla. Lopputulos on kyllä muodoltaan ihan siisti.
131. Jaska28.4.2015 klo 23:19
Kiinnostaa tietysti, mutta en nyt jaksa vääntää. Pascalin kolmion avullahan tuo on helpoimmin muotoiltavissa.
132. Matti29.4.2015 klo 21:14
Pascalin kolmion avulla, joo. Suoraan voidaan kirjoittaa, kun jätetään jakajan kakkosen potenssi myöhemmäksi, ettäp(n,k) = ((2n-1) yli k) - ((2n-2) yli (k-1)),p
joka sievenee muotoon ((2n-2) yli k). Tämä jaetaan vielä luvulla 2^(n+k-1).
Kun sijoitetaan esim. n=4 ja vuorotellen k=0, 1, 2 ja 3, saadaan Jaskan ylle kirjoittamat todennäköisyydet.
133. Matti29.4.2015 klo 21:18
Rivin p(n,k) = ... viimeinen p pois.
134. Olavi Kivalo1.5.2015 klo 09:54
Hyvää Vappu-aamua,Ota mielivaltainen kokonaisluku N, sanotaan 736.
Luo uusi jono toistamalla tätä lukua näin: 736736736736736…
Laita kertomerkki jokaisen numeron väliin: 7*3*6*7*3*6*7*3*6…
Luo kumulatiiviset tulot:
7*3=21
7*3*6=126
7*3*6*7=882
…
Etsi pienin sellainen N>10, jonka kumulatiivinen tulo = N.
Mikä on seuraava N ja mikä on sitä seuraava jne?
Luo lukujono noista kokonaisluvuista N.
135. Jaska1.5.2015 klo 13:42
Siiskö luvun N numeroiden tulon tulee olla N? Ei ole mahdollista.
136. Olavi Kivalo1.5.2015 klo 14:06
Siis tuo esimerkiksi antamani luku N=736 ei ole kelvollinen, kuten näkyy. Tehtävä kuuluu: etsi sellaiset luvut N, jotka ovat kelvollisia ja muodostavat kelvollisten lukujen lukujonon N1, N2, N3, ....
137. Jukkis1.5.2015 klo 15:30
Laitoin Matlabin etsimään. Väliltä 11 ... 999999 löytyi kolme kelvollista lukua.
138. Jukkis1.5.2015 klo 15:52
... eikä niitä lisää löytynyt kun etsi 9 999 999 asti.
139. Olavi Kivalo1.5.2015 klo 18:03
Jukkis löysi kolme. Todistus, että ne ovat ainoat, on haastava. On esitetty konjektuuri, että lukujono on päättyvä ja sisältää vain nuo kolme termiä N1, N2, N3.Jos haluaa kokea hieman löytämisen iloa, vihjaan, että N1 on noin 736.
140. Jukkis1.5.2015 klo 18:10
No hyvä etten laittanut laskemaan 99 999 999 asti. Aika kivasti nousee prosessorin lämpötila tommoisen aikana.
141. Olavi Kivalo1.5.2015 klo 19:34
Konjektuuri rakentuu seuraavaan:- Kelvollinen luku N on muotoa 2^p*3^q*5^r*7^s.
- Kelvollinen luku N ei voi sisältää numeroa nolla.
- Kun N kasvaa, numerot 0…9 jakautuvat tasaisesti.
- Nollan esiintymisen todennäköisyys saavuttaa arvon 1.
- Lukujono on päättyvä.
142. Jaska1.5.2015 klo 19:54
Ei bonjaa. Jos N1 on 735, niin saan sen numeroiden tuloksi 105. Vai mitä se "noin 736" mahtaa tarkoittaa.
143. Jaska1.5.2015 klo 20:12
Tuumailu johti päätelmään, että sarjan 735735735735.. peräkkäisiä numeroita kerrotaan ekasta numerosta lähtien keskenään, kunnes tulo on 735. Ehdon täyttää luku 7357. Jos päättelin oikein, niin mitkä ne kaksi muuta lukua ovat?
144. Jukkis1.5.2015 klo 20:14
73518432
442368
145. Jaska1.5.2015 klo 21:27
Alkutekijät ovat3*5*7^2
2^11*3^2
2^14*3^3
Yhteistä kolmella jaollisuus, kolmas lisäksi 24*toka. Turhaa olisi siis mitään punaista lankaa luomistyön onnistumiseksi yrittää punoa, kun ei enempiä termejä ole.
146. Olavi Kivalo1.5.2015 klo 22:50
Koska kelvollinen luku ei voi olla jaollinen 10:llä, sen on oltava muotoa 2^p*3^q*7^s tai 3^q*5^r*7^s eli ainakin joko r tai p on nolla (kuten Jaska havaitsikin). Ei oikein mitään muuta punaista lankaa tarjolla toistaiseksi.
Huom, kyseessä on vain konjektuuri, tosin aika vahvan tuntuinen.
147. Olavi Kivalo1.5.2015 klo 23:26
Hehheh,Jukkiksen olisi kannattanut jatkaa. On sittenkin löytynyt neljäs termi. Tosin löytö näkyy tehdyn jo Vapun aatonaattona klo 17.04. (eli olisi myöhästynyt kiusallisesti).
Löytöhän tarkoittaa, että viideskin saattaisi olla olemassa. Ehkä sitä etsitään nyt prosessorit kuumana.
Termi on muuten 3682784876146817236992.
148. Jaska1.5.2015 klo 23:49
Huhhuh. Minä tyydyn jonoon, jossa taatusti on vain neljä termiä. Se on joko hyvin helppo tai hyvin vaikea.53, 23333, 31193, ?
149. Olavi Kivalo2.5.2015 klo 09:12
Tuo antamani neljäs termi on muotoa 2^p*3^q*7^s eli2^37*3^13*7^5
150. Jukkis2.5.2015 klo 11:16
Ihan hyvin voin uskoa, että näitä lukuja hyvinkin voi olla saman tien vaikka ääretön määrä. Tuolla Olavi Kivalon päättelyssähän 1.5.2015 klo 19:34 kohta "Nollan esiintymisen todennäköisyys saavuttaa arvon 1" ei tietenkään pidä paikkaansa.
151. Jaska2.5.2015 klo 11:31
Niin, onhan n:on 5 esiintyminen parillisen numeron ohella samassa luvussa äärettömiin vältettävissä.
152. Olavi Kivalo2.5.2015 klo 12:20
Nämä ääretömään liittyvät argumentit, sekä puolesta että vastaan, ovat lähes aina konjektuureja.Joten siirtykäämme Jaskan jonoon a(n). Onko siis kyseessä päättyvä neljän termin jono? Kun ei muita lähtötietoja ole, on mahdollista, että löytyy useitakin lainalaisuuksia, joilla neljäs termi a(4) löytyy. Ja se "oikea" eli se, mitä Jaska tarkoittaa, löytyy säkällä tai hyvällä arvauksella siitä, mitä Jaskan päässä on tapahtunut.
Arvataan, että tässä jatketaan samalla linjalla kuin edellä.
Saadaanko esim. lukujen numeroiden syklisellä summauksella irti jokin lainalaisuus?
Esim. 2+3+3+3+2+3+3+3+2+3+3+3+2+…
Kun jatketaan, tullaan summaan 23332 = a(2)-1.
Vastaavasti 3+1+1+9+3+3+1+1+9+3+3+1+…
antaa summan 31192 = a(3)-1.
Taitaa olla hakotie.
153. Jaska2.5.2015 klo 12:34
On ainakin siten, että minulla on eri kostruktiosääntö. Neljäs eli suuruusjärjestyksessä viimeinen luku on 719333. Vihje: ilman apuneuvoa käytännössä mahdoton tehtävä.
154. Jaska2.5.2015 klo 12:36
Ja tavallaan suuruusjärjestys on epälooginen.
155. Olavi Kivalo2.5.2015 klo 18:03
Omasta konstruktiosäännöstäni sain idean lukujonoon, jota en yllättäen löydä OEIS:stä, eli alkuluvut, jotka ovat samat kuin niiden numeroiden sykliset summat.Esimerkiksi
p(37) = 157 = (1+5+7)*12 + 1
p(40) = 173 = (1+7+3)*15 + 1+7
p(42) = 181 = (1+8+1)*18 + 1
p(45) = 197 = (1+9+7)*11 + 1+9
…
p(255)=1613=(1+6+1+3)*146 + 1+6
156. Olavi Kivalo2.5.2015 klo 20:05
Kiitos Jaskan, tuon ideoiden tonavan.Jononi näyttää tältä:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 53, 71, 101, 131, 157, 173, 181, 197, 211, 283, 431, 439, 457, 461, 487, 509, 571, 601, 643, 727, 911, 929, 1021, 1031, 1033, 1051, 1093, 1151, 1163, 1171, 1201, 1231, 1249, 1259, 1301, 1303, 1327, 1373, 1399, 1429, 1451, 1453, 1493, 1511, 1531, 1549, 1601, 1613, 1621, 1667, 1733, 1741, 1783, 1787, 1801, 1871, 1889, 1931, 1933, 1951, 2011, 2081, 2131, 2143, 2153, 2213, 2221, 2371, 2377, 2389, 2441, 2591, 2609, ...
157. Olavi Kivalo2.5.2015 klo 20:28
Laitoin sen tarjolle OEIS:ään.
158. Jaska3.5.2015 klo 11:59
Nuo neljä lukua on muodostettu tiettyä klausuulia noudattaen. Kun se poistetaan lukujen määrä on paljon suurempi, mutta rajallinen. Löytyy myös numeromäärältään pitempiä lukuja. Pisimmät löytämäni ovat 8-numeroisia:
23399339
29399999
37337999
59393339
Mikä on sääntö? Montako säännönmukaista lukua on kaiken kaikkiaan? Onko pitempiä kuin 8-numeroisia?
159. Jaskan3.5.2015 klo 17:38
Lukuja on 22. Ne ovat suuruusjärjestyksessä:53, 313, 317, 599, 2393, 3793, 3797, 23333, 31193, 31379, 37397, 73331, 373393, 593993, 719333, 2399333, 7393931, 7393933, 23399339, 29399999, 37337999, 59393339.
On siis yksi kaksosparikin joukossa. Säännön hiffaamisen ei pitäisi olla enää hyvin vaikeaa.
160. Jaska5.5.2015 klo 21:28
Etenkään apuneuvon osoittautuessa Prime Number Calculatoriksi.
161. Olavi Kivalo6.5.2015 klo 10:31
Kerro jo. Ei jaksa enää.
162. Jaska6.5.2015 klo 17:40
Sääntö: jatketaan yksinumeroisia alkulukuja 2, 3, 5, 7 yksi numero kerrallaan niin pitkälle, että kaikki näin saadut isommat luvut ovat niin ikään alkulukuja. Jatkonumerot ovat siis 1, 3, 7, 9. Kaikissa kombinaatioissa joudutaan siis umpikujaan viimeistään kahdeksannen numeron jälkeen. Ekassa versiossa piti valita aina pienin jatkonumero useammasta vaihtoehdosta.
163. Jukkis6.5.2015 klo 18:16
Emmää ainakaan tajua tuosta mitään. Miksei esim. 59 ole mukana?
164. Olavi Kivalo6.5.2015 klo 18:20
En tajua. Ole ystävällinen ja anna esimerkki.
165. Jaska6.5.2015 klo 22:17
Jäihän se taas sumeanpuoleiseksi, kun puuttui kaksi sanaa. Siis jatketaan niin pitkälle KUIN MAHDOLLISTA alkulukuvaateen täyttyessä. Siksi 59 ei kelpaa jonoon itsenäisenä lukuna, Se ei pääty umpikujaan, koska jatko 593 on alkuluku. Sitä on taas mahdollista jatkaa numeroilla 9, edelleen lukua 5939 numerolla 3 tai 9 jne.Esim. lukua 53 ei voi jatkaa, koska 531-539 ovat jaollisia. 599 päättyy puolestaan umpikujaan, koska luvut 5991-5999 ovat
jaollisia.
166. Olavi Kivalo7.5.2015 klo 16:02
Lukujononi on nyt OEIS:ssä A253717.
167. Jaska7.5.2015 klo 19:19
Mietiskelin, millaisella muotoilulla tehtäväni idea olisi ollut absoluuttisen yksiselitteinen eli totaalisumeudeton. Esim. tällaisella: Poistetaan alkuluvusta sen viimeinen numero. Jäljelle jää niin ikään alkuluku. Kuinka monella alkuluvulla on tämä ominaisuus?On mielestäni niin selkeä, että voisi vaikkapa antaa lukiolaisille kotitehtäväksi. Vastaus (minun laskujeni mukaan) on 97.
168. Jaska7.5.2015 klo 19:52
Joka kylläkin on väärä vastaus. Tarkastetaan.
169. Jukkis7.5.2015 klo 20:52
Olisko 70?
170. Jaska7.5.2015 klo 22:59
Saman sain. Otin ensin tuhmuuksissani mukaan monikerrat."Absoluuttisen yksiselitteinen" oli myös päin Prinkkalaa. Siitä puuttuu edellytys, että numeroiden pudottaminen ei saa keskeytyä jaolliseen lukuun, ja viimeisen pudotuksen pitää johtaa yksinumeroiseen alkulukuun 2, 3, 5 tai 7.
171. Olavi Kivalo9.5.2015 klo 20:21
Valitettavaa, että tehtävän määrittely lähestyi oikeaa vasta kalkkiviivoilla. Mutta onko se se, mitä tarkoitettiin, vieläkään?Ajattelen näin. Lähdetään joukosta alkulukuja p(1)…p(N), jossa N on riittävän suuri. Tiputetaan kustakin viimeinen numero pois ja näin syntyvistä luvuista huolitaan vain alkuluvut, joista tiputetaan kustakin viimeinen numero pois, ja näin syntyvistä luvuista huolitaan vain alkuluvut, joista tiputetaan kustakin viimeinen numero pois, ja näin syntyvistä luvuista huolitaan vain alkuluvut jne, kunnes jää jäljelle luvut 2, 3, 5 ja 7 (eli kustakaan ei voi enää tiputtaa).
Kun lähdetään takaisinpäin näistä yksinumeroisista, saadaan neljä erillistä haaroittuvaa lukujonoryvästä.
Lähtien kakkosesta saadaan ensin kaksi haaraa 23… ja 29…
joista esim 23-haara jakautuu 233... ja 239….
Yksi 23-haaroista etenee näin:
2, 23, 233, 2339, 23399, 233993, 2339933, 23399339,
ja päättyy siihen.
Eikös näitä ole 83. Olisi hienoa saada tästä oikein graafi.
172. Jaska10.5.2015 klo 00:18
Tiputtamismääritelmä on hyvä. Saman asian ajaa kuin omakin sanamuotoni, luulisin. Tämä lukumäärän kysyminen tiputustehtävän muodossa (mainitsematta käänteistä operaatiota) on mielestäni hyvä tapa testata kohteen systyslangan pituutta. Monelle tulee varmasti äitiä ikävä ennen kuin huomaa knopin.Minä ja Jukkis saimme siis 70, mutta saattoihan sama virhe tulla molemmille sattumalta. Tsekkaan sen uudelleen, kun päivä ja aivot ovat tarpeeksi valjenneet.
173. Jukkis10.5.2015 klo 11:24
Nyt kun laskin uudestaan, sain 74.
174. Jukkis10.5.2015 klo 11:27
Eikun edelleen 70, koska eihän yksinumeroiset kuulu mukaan.
175. Jukkis10.5.2015 klo 11:29
Esim. näin nuo voi järjestää, kun pitää yksinumeroiset mukana:2
23
233
2333
23333
2339
23399
233993
2339933
23399339
239
2393
2399
23993
239933
2399333
29
293
2939
29399
293999
2939999
29399999
3
31
311
3119
31193
313
3137
31379
317
37
373
3733
37337
373379
3733799
37337999
37339
373393
3739
37397
379
3793
3797
5
53
59
593
5939
59393
593933
5939333
59393339
59399
593993
599
7
71
719
7193
71933
719333
73
733
7333
73331
739
7393
73939
739393
7393931
7393933
176. Jukkis10.5.2015 klo 11:43
En tiedä, millaista graafia Olavi Kivalo ajatteli, mutta esim. tällaisen noista saa. Säteen suuntainen akseli on logaritminen, ei tästä muuten järkevää tule:http://aijaa.com/VaWvpD
177. Jukkis10.5.2015 klo 12:14
Ja jos plottaakin tuossa ylläolevassa järjestyksessä, niin tulee tämmöinen hupaisa lehti:http://aijaa.com/OG3bvh
178. Jaska10.5.2015 klo 13:10
Ahaa, kun otetaan mukaan 2, 3, 5, 7 saadaan tietsyti 74. Mutta niitähän ei voi enää tiputtaa, kun ovat päätepysäkkiLisäksi joudun syväksi masennuksekseni toteamaan, että 3.5. 17:38 ilmoittamassani jonossani on kaksi virhettä:(( Ilmoittamani säännön mukaan 313 ei kuulu jonoon, koska sitä voidaan jatkaa lukuun 31193. Jonosta puuttuu tyystin 797, joten lukuja tulee kaksi lisää, 79 ja 797.
179. Olavi Kivalo10.5.2015 klo 14:55
Kaiken kaikkiaan Jukkiksen listasta puuttuvat seuraavat: 23339, 7331, 739391, 7393913, 73939133, 739397, 739399, 79, 797,
joten kokonaismäärä on 83 tai, jos yksinumeroiset jäätetään pois, 79
180. Jaska10.5.2015 klo 16:19
Onnistuin näköjään sähläämään lenkillelähtökiireessä 313:n jatkoksi väärän luvun, po. tietysti 31379.Jukkiksen lista perustuu siis minun puutteelliseen listaani. Minä siis olen mokannut. Nyt täytää kaivaa jostain alkuperäinen paperi. Jos siinä on sama puute, olen studeerannut huolimattomasti calculatoria. Siinä on kyllä valitettavan pienet numerot.
181. Olavi Kivalo10.5.2015 klo 16:52
Tuo aijaa.com/OG3bvh ei aukene.Ajattelin puita. Niitä olisi tässä neljä.
182. Jaska10.5.2015 klo 17:08
Jäi arvoitukseksi, miten onnistuin nuo puuttuneet välttämään. OK:n korjauksen jälkeen alkuperäistä lisäysehtoa noudattaen sanoja siis 30.
183. Jukkis10.5.2015 klo 19:15
Noiden lisättyjen kanssa saa aikaan tällaisia kuvia, periaate sama kuin edellä._http://aijaa.com/o5uNuv
184. Olavi Kivalo17.5.2015 klo 12:15
Muistatteko, kun viime elo-syyskuun vaihteessa Antti toi esiin OEIS:n lukujonon A000503 floor(tan)n)), jonka Jukkis pani paremmaksi muunnoksella floor(tan(floor(tan(n)))), jonka jälkeen menin vielä pidemmälle floor(tan(…(floor(tan(floor(tan(n)))))…)) ja esitin kysymykset: Montako kertaa voidaan toistaa, että jono ei enää muutu? Mikä on tuo rajajono?Koska alkuperäisen lukujonon yhteydessä todettiin, että siinä esiintyvät kaikki luvut äärettömän monta kertaa, syntyi keskustelu siitä, voiko mitään rajajonoa näinollen ollakaan. Näkemyksemme olivat välillä puolesta, välillä vastaan. Koko juttu päättyi hämmennykseen. ”Ääretön on kyllä jännä käsite,” kuten totesi Jukkis.
Päätin vihdoin tarjota tuota rajajonoa OEIS:ään varustettuna konjektuurilla, että sellainen on konstruoitavissa. Esitys on ollut kahdella editorilla ja on nyt ”proposed for review”. Raportoin mielelläni tänne, mitä sieltä kuuluu, koska sen pitäisi kiinnostaa.
185. Jukkis17.5.2015 klo 17:16
Piti kerrata tuota, löytyy Lukujono 13:sta:_http://www.sanaristikot.net/keskustelut/index.php ?p1=vast.php&id=7775
Alkaa 28.8.2014 klo 08:04.
186. Olavi Kivalo20.5.2015 klo 15:21
Koska trigonometriset funktiot, kuten tan(n), ovat jaksollisia, olisi kiinnostavaa tietää, jääkö tuosta jaksollisuudesta jotain jälkiä lukujonoihin floor(tan(n)), floor(tan(floor(tan(n))), etc.Silmäilin rajajonoa 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, … aikani, mutta en löytänyt jaksollisuutta.
Ykkösten välit muodostavat lukujonon joka näyttää koostuvan yksinomaan luvuista 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 16, ja 19. Niiden muodostamasta jonosta 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 13, 6, 3, 7, 6, 6, 3, 7, 6, 6, 3, 13, 6, 3, 3, 10, 6, 3, 3, 10, 6, 3, 3, 16, 3, 3, 16, 3, 3, 19, 3, 7, 12, 3, … ei myöskään saa suoraan irti mitään selkeää toistoa. Muunsin jonon ääneksi ja soitin pianona. Siinä on selkeitä toistuvia teemoja, muuta kun jatkoi kuuntelua, niin ilmaantui variaatioita. Ihan rytmikästä musaa silti. Jossain vaiheessa se toisti teemaa, joka kuulosti kuin stupido-stupido-stupido-stupido, ja ajattelin, että taidat olla oikeassa. Tosin se luopui siitä myöhemmin.
Jotain lienen saanut irti. Ykkösiä on rajajonossa keskimäärin vähän yli 12,2%, loput ovat siis nollia. Ykkösten esiintymistiheys rajajonossa näyttää vaihtelevan jaksollisesti. Tulos riippuu siitä kuinka isoista pätkistä paikalliset tiheydet lasketaan. Välillä n=0…10^6, mitattuna 10^3:n termin pätkistä, tiheydet muodostavat sahanteräkuvion, jonka minimit ja maksimit asettuvat tasoille 11,2 ja 13,4 ja kumpiakin on tuolla välillä säännöllisin välein 10.
187. Olavi Kivalo23.5.2015 klo 09:25
Tämä on helppo. Lähinnä pitäisi keksiä, miksi termit ovat tuossa järjestyksessä.21,12,3,24,15,36,27,18,39,210,111,312, ...
188. Jaska23.5.2015 klo 11:29
Jotta ne olisivat kaikki kolmella jaollisia:...213, 114, 315, 216, 117, 318...
189. Olavi Kivalo23.5.2015 klo 12:02
Tuossa antamassani jonossa on kaksi ei-tarkoituksellista virhettä. a(6)=6 ei 36 ja a(9)=9 ei 39. Sitäpä Jaskakaan ei huomannut.
190. Olavi Kivalo23.5.2015 klo 12:05
Lisää vaikeutta: löytyisikö lukujonolle kaava?
191. Antti23.5.2015 klo 12:35
Olavi, onko kolmaskin virhe, pitääkö olla a(12)=12.Josnäin on oltava, jono jatkuu 213, 114, 15, 216, 117, 18,...
192. Jaska23.5.2015 klo 12:39
Huomasin kyllä, että 3 on poikkeuksena 2,1,3-eteenlisäyssarjassa, mutta en jäänyt pohtimaan syytä.
193. Olavi Kivalo23.5.2015 klo 13:15
Siltä varalta, että joku lähtee etsimään kaavaa, niin annetaan lukujonon täsmällinen määritelmä:a(n) on pienin sellainen kolmella jaollinen luku, joka päättyy n:ään.
Tuo "pienin" on välttämätön, jotta jonosta tulisi yksikäsitteinen. Määritelmän mukaisesti on antamassani jonossa siis vielä yksi virhe lisää: a(12)=12 ei 312, kuten Antti jo huomasi. Mutta tällöin a(2)=a(12). Tämä ja vastaavat voidaan kuitenkin hylätä, jos määritellään lisäksi, että toistoja ei sallita.
Virheitä antamassani jonossa oli siis mahdoton huomata. Jaskan tarjoama jatko on siis niin oikein kuin se voi olla.
Jotta kaavan haku ei muodostuisi liian hankalaksi tai peräti vesiperäksi yritykseksi, ehdotan, että pitäydytään tuossa ylläolevassa määritelmässä ja hyväksytään toistot. Jono olisi siis seuraava:
21, 12, 3, 24, 15, 6, 27, 18, 9, 210, 111, 12, 213, 114, 15, 216, 117, 18, 219, 120, 21, 222, ...
194. Olavi Kivalo23.5.2015 klo 20:40
Tuo versio, jossa toistoa ei hyväksytä, julkaistiin tänään OEIS:ssä. Sille jonolle ei ole lauseketta suljetussa muodossa, ainoastaan laskenta-algoritmi. Sen sijaan tämä kevytversio toistolla on ihan mielenkiintoinen eikä välttämättä vaadi mitään akrobatiaa. Löysin kaavan hakuun kaksikin lähestymistapaa. Voi hyvin olla muitakin. Kannattaa treenata.
195. Olavi Kivalo24.5.2015 klo 13:57
Tämä floor(tan(n)) kehitelmäni, jonka otin uudelleen esille, on nyt julkaistu OEIS:ssä ilman mutinoita numerolla A258024. Sinänsä mielenkiintoista, koska on aksiomaattisesti todettu, että jonossa floor(tan(n)) esiintyvät KAIKKI kokonaisluvut ÄÄRETTÖMÄN monta kertaa. Varsin vahvasti sanottu. Olisin odottanut jotain kannanottoa.
196. Jaska24.5.2015 klo 23:05
Seuraava on helppo jatkaa, mutta mistä se rakentuu?24, 72, 48, 120, 72, 168, 96, 216, 120, 264...
197. Jaska3.6.2015 klo 13:22
Rakentuu vuorotahtiin jonojen (6n-1)^2 ja (6n+1)^2 erotuksista:25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 625, 841, 961, 1225...
Konjektuuri: äärettömässä jonossa on kahden peräkkäisen termin välissä vähintään kaksi alkulukukaksosparia.
Matti saattaa muistaa minun maininneen tavatessamme, että olen todistanut kahden peräkkäisen alkuluvun neliöiden termien välissä olevan aina kaksospareja. Se tarkoittaa, että uskon todistaneeni sen itselleni. Uskon peruste on, että jonon kasvaessa myös kaksosten määrä kasvaa, joskaan ei säännöllisesti. Ei löydy perustetta sille, että tämä tendenssi päättyisi. Absoluuttisessa todistuksessa on sitä vastoin vielä hieman työstämistä:)
Periaate on kuitenkin selvä. Äärellisen jonon on rakennuttava aritemeettisen säännöllisesti, jotta voidaan osoittaa kaksosparilainalaisuuden jatkuvan äärettömiin.
198. Jukkis3.6.2015 klo 14:19
Mitä tarkoittaa "kahden peräkkäisen alkuluvun neliöiden termien välissä"?
199. Matti3.6.2015 klo 18:27
Jaska, muistan hyvin tapaamisemme ja keskustelut. Taisi jäädä avoimeksi se, kuinka äärettömän tarkat muodolliset vaatimukset formaalin todistuksen on täytettävä. Siis vaikka asia omassa päässä, vuosien harrastelun ja sommittelun jälkeen, olisi selvä kuin pläkki, siis beyond all reasonable doubt, formaali todistus on silti vielä asia erikseen.
200. Jaska3.6.2015 klo 18:28
Pahoittelen sumeutta. Piti olla neliötermien tai pelkästään neliöiden.Selvennystä. 25-49 haarukan sisään jäävät
29-30-31
35-36-37
41-42-43
Jaollisten 6n-1 ja 6n+1 pienin mahdollinen alkutekijä on 5 ja suurin mahdollinen 7. Niiden ainoa raamin sisään sopiva kombinaatio on 5*7 = 35, joka on muotoa 6n-1. Näin ollen muut kaksi 6n-1 lukua ja kaikki kolme 6n+1 lukua ovat alkulukuja. Haarukassa on siten kaksi kaksosparia ja yksi yksinäinen alkuluku. Kuusakin haarukassa pitäisi siis päteä olettamuksen, että siihen käytettävissä olevilla alkutekijöillä ei ole mahdollista kombinoida riittävästi jaollisia lukuja eliminoimaan kaksoset.
Absoluuttisen vedenpitävän todistuksen pähkäilyä voi itse kukin tykönänsä sade- ja miksei puolipilvispäivinäkin harjoittaa.
201. Jaska3.6.2015 klo 18:45
Kuusakin haarukka = painottomille ja vähäpainoisille kuuastronauteille kehitetty ruokailuvälinen.
202. Jaska3.6.2015 klo 23:31
Seuraavan selväpiirteisemmän jonon kahden peräkkäisen väliin näyttää siunaantuvan vähintään yksi kaksospari. Tässäkin lisääntymistendenssi havaittavissa muutaman kymmenen termin otoksessa. 3, 9, 21, 39, 63, 93, 129, 171, 219, 273, 333...
erotusjononaan
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 50...
ja kahden peräkkäisen väliin jäävien 6n kpl-määrät siis 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...
203. Antti24.6.2015 klo 12:02
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ?,
204. Jaska24.6.2015 klo 17:35
10395, 46080 jne.
205. Olavi Kivalo24.6.2015 klo 19:41
10395 = 11*945 eli 10395:n sijainti jonossa (=11.) kertaa (11-2):s termi (=945), ja sillee.
206. Antti24.6.2015 klo 20:51
Hyvä, Jaska ja Olavi.a(1)=a(2) =1,
a(j)=(j-1)*a(j-2), kun j=3,4,...
a(j)=kertoma(j)/kertoma.osa(j)
207. Antti24.6.2015 klo 20:51
Hyvä, Jaska ja Olavi.a(1)=a(2) =1,
a(j)=(j-1)*a(j-2), kun j=3,4,...
a(j)=kertoma(j)/kertoma.osa(j)
208. Olavi Kivalo21.7.2015 klo 19:43
Tätä voisi pitää idealisoituna parkkeerausongelmana. Mikä on suurin mahdollinen määrä autoja, joka voidaan parkkeerata nxn-suuruiselle parkkipaikalle, kun auton saa parkkeerata vain niin, että muodostuu enintään kaksi vierekkäistä varattua ruutua sivujen suunnassa tai kulmittain? Toisin sanoen parkkipaikalla ei saa esiintyä kolmea vierekkäistä autoa missään näissä neljässä suunnassa. Esim. 3x3-ruudukko
XX_
XX_
___
Esim. 4x4-ruudukko
XX_X
XX_X
____
XX_X
a(n) = ?
209. Matti21.7.2015 klo 23:57
Olisiko niin, että jos n=3k-1 tai n=3k, niin a(n)=(2k)^2, ja jos n=3k+1, niin a(n)=(2k+1)^2.
210. Matti21.7.2015 klo 23:59
Ruuduista noin 4/9 voidaan käyttää parkkeeraukseen.
211. Jaska22.7.2015 klo 00:18
Ei auennut Matin 23:59 useammankaan minuutin pähkäilyllä.
212. Antti22.7.2015 klo 07:21
Aukeaako tämä?0, 1, 3, 5, 8, 12, 16, 21, 27, 33, ?
213. O22.7.2015 klo 09:20
Vois kannattaa kokeilla lisää joitakin yksittäisiä tapauksia, ennen yritystä lausua yleinen lainalaisuus. Paljonko mahtuisi esim 5x5-, 6x6-, 7x7- ja 8x8-ruudukkoon? Olen alustavasti kokeillut 5x5:ttä ja sain sain mahtumaan 16 (Matti ehdottaa samaa), mutta 8x8:aan sain mahtumaan vain 30. (Matti ehdottaa 36.)
214. Olavi Kivalo22.7.2015 klo 10:54
6x6:lle sain 20, kun Matti ehdottaa vain 16.
215. Olavi Kivalo22.7.2015 klo 11:11
Sori, näyttää, että 6x6:n maksimi on 19.
216. Olavi Kivalo22.7.2015 klo 11:17
Höh, löysin kuitenkin 6x6:lle 20 autoa.
217. Matias-Myyrä22.7.2015 klo 11:29
Minulla 6x6 20 kpl ja 8x8 34 kpl
218. Olavi Kivalo22.7.2015 klo 11:34
Voisi olla selkeämpää merkitä autoa isolla X:llä ja vapaata ruutua 0:lla. 8x8:n ratkaisu olisi tällä notaatiolla tämän näköinen:XX00XX
X0XX0X
0X00X0
0X00X0
X0XX0X
XX00XX
219. Jaska22.7.2015 klo 12:10
Siis 6x6-ratkaisu OK:lla, joka ei olisi mahdollinen useimmilla todellisilla parkkipaikoilla. Ne ovat tavallisesti suljettuja useammalta kuin yhdeltä kantilta, mutta jokaisesta parkkiruudusta pitää päästä myös poistumaan alueen ollessa täynnä. Käytännössä siisrtymäväylä kulmasta kulmaan ei siis ole mahdollinen. Varsin tavallinen on vain yksi ja sama ulos/sisäänmenoväylä.
220. Olavi Kivalo22.7.2015 klo 13:14
Juuri tästä syystä käytin nimitystä idealisoitu. Yksinkertaisuuden vuoksi tässä oletetaan, että alue on avoin kaikilta kanteilta. Jos ei olisi, se sanottaisiin ongelman määrittelyssä. Tässä ei oteta myöskään huomioon sitä, että autot, kuin myös ruudut, ovat pitempiä kuin leveitä. Yksinkertaisimmillaan ne voisivat olla kokoa 2x1. Tämäkin tietysti määriteltäisiin. Tällaisilla lisämääreillä saataisiin toisia, ehkä haastavampia versioita. Ajattelin, että tämä versio olisi sopiva, mutta se tulisi ottaa puhtaasti matemaattisena ongelmana ja unohtaa fysikaalinen todellisuus mukaanlukien autojen erilaiset koot ja kuskien erilaiset parkkeeraustaidot. Idealisoitunakin se näyttää kiinnostavalta.
221. Matti22.7.2015 klo 14:22
OK:n ongelma abstrahoituna: nxn ruudukosta on rastittava mahdollisimman monta ruutua siten, että vierekkäin, allekkain tai diagonaalisti peräkkäin on korkeintaan kaksi rastia. Onko siis näin?
222. Olavi Kivalo22.7.2015 klo 14:27
Näin on. Kolmen jonot kaikissa suunnissa on kielletty.
223. Juhani Heino22.7.2015 klo 14:31
Pahoittelen etten ole pitkään aikaan ehtinyt osallistua keskusteluun. En siis tiedä onko tämäntyyppinen jono jo ollut:5,7,12,17,19,22,24,26,27,29,31...
224. Olavi Kivalo22.7.2015 klo 15:23
Näyttää, että 8x8-ratkaisu on tuo mitä Matti jo ehdotti eli 36:XX0XX0XX
XX0XX0XX
00000000
XX0XX0XX
XX0XX0XX
00000000
XX0XX0XX
XX0XX0XX
(Kutsuin epähuomiossa aiemmin antamaani 6x6-ratkaisua nimellä 8x8-ratkaisu.)
Tähän mennessä hyvin alustavasti jono näyttäisi tältä
1, 4, 5, 9, 15, 20, 25, 36, 39, …
Tätä sopii parantaa ja jatkaa.
225. Matias-Myyrä22.7.2015 klo 15:57
5x5 = 16 kplXX0XX
XX0XX
00000
XX0XX
XX0XX
226. Matti22.7.2015 klo 16:07
Tässä on peruslaattaxxo
xxo
ooo
Sillä voidaan jatkaa kaakelointia eteen, taakse, ylös ja alas.
227. Matti22.7.2015 klo 16:16
Mutta ainakaan 6x6-tapauksessa se ei anna optimaalista arvoa 20, vaan 16, kuten yllä on jo todettu. Ja peruslaatan käyttöön liittyvät siis alussa antamani kaavat.
228. Matti22.7.2015 klo 16:19
Juhani Heino terve taas. Lukujonosi on aivan mystinen.
229. O22.7.2015 klo 16:55
Se ei anna maksimia myöskään tapauksessa 9x9. Peruslaatoittamalla tulee 36, mutta ainakin 39 on mahdollinen.
230. Matti22.7.2015 klo 22:08
Konjektuuri eli arvaus:Kun n=3k-1 peruslaatoitus antaa optimin. Kahdessa muussa tapauksessa löydetään peruslaatoitusta parempi ratkaisu. Ensimmäisessä tapauksessa täyttöaste a(n)/n^2=4/9, ja kahdessa muussa tapauksessa se lähestyy ylhäältä monotonisesti avoa 4/9.
231. Matti22.7.2015 klo 22:09
Kun siis n kasvaa.
232. Olavi Kivalo22.7.2015 klo 23:37
Tuo peruslaatan löytäminen on hyvä askel kohti ratkaisua. Se todella antaa ratkaisun monissa tapauksissa. Olen yrittänyt löytää selitystä sille, miksi joissakin tilanteissa näin ei tapahdu. Se näyttäisi liittyvän symmetriaan. Silloin kun ratkaisut peruslaatoituksella ovat symmetrisiä kuten tapauksissa 5x5 ja 8x8, ne ovat oikeita, mutta silloin kun ne eivät ole symmetrisiä ja samaan aikan on löydettävissä symmetrinen ratkaisu kuten tapauksissa 6x6 tai 9x9, peruslaatoitus ei anna parasta tulosta.
Jotta voisi määrittää koko lukujonon, pitäisi siis löytää tilanteet (n), missä symmetria synnyttää poikkeaman, ja keino ennustaa vastaavat ratkaisut.
Tällä haavaa jono näyttää tältä:
a(n) = 1, 4, 5, 9, 16, 20, 25, 36, 39, 49, … (n=1,2,3,…)
En saanut kaavastasi ratkaisuja n:n arvoille 3, 6, 9, 12, …
Voisitko kirjoittaa auki mikä jono niistä tulee?
233. Olavi Kivalo23.7.2015 klo 08:58
Symmetriaperusteella voi suoraan ennustaa, että tapauksissa 3x3, 6x6, 9x9, jne eli yleisesti (3^k)x(3^k) peruslaatoitus ei ole paras ratkaisu. Niissä kussakin kaksi puhdasta nollariviä asettuu rakenteen kahdelle sivustalle, joka on tilan tuhlausta.
234. Olavi Kivalo23.7.2015 klo 09:02
Sori, piti kirjoittaa: yleisesti 3kx3k, k=1,2,3,4,...
235. Olavi Kivalo23.7.2015 klo 09:55
Symmetristen tapausten ratkaisutkin näyttävät olevan ennustettavissa, joten asia on lähinnä matemaattista muotoilua vaille. Yritän jossain vaiheessa vääntää jotain näytille kritisoitavaksi.
236. Jaska23.7.2015 klo 10:56
Juhani Heinon tervetullut mystiselle paluujonolle tarjoan mystiikasta riisutun ja siis mahdollisesti väärän jatkon:...33, 32, 34, 36, 38, 40, 37 etc.
237. Juhani Heino23.7.2015 klo 11:39
Järjestystä lukuunottamatta tuo voisi olla oikein. Selitätkö Jaska ideasi. Mun jononi laitetaan suuruusjärjestykseen ja esim. 39 on mukana. Ehkä sullakin, ei vain ehtinyt vielä ilmaantua.
238. Jaska23.7.2015 klo 12:06
5+7 = 125+5+7 = 17
5+7+7 = 19
5+5+5+7 = 22
5+5+7+7 = 24
5+7+7+7 = 26
5+5+5+5+7 = 27
5+5+5+7+7 = 29
5+5+7+7+7 = 31
5+7+7+7+7 = 33
5+5+5+5+5+7 = 32
5+5+5+5+7+7 = 34
5+5+5+7+7+7 = 36
5+5+7+7+7+7 = 38
5+7+7+7+7+7 = 40
5+5+5+5+5+5+7 = 37
5+5+5+5+5+7+7 = 39 etc
239. Matti23.7.2015 klo 15:03
Olavi, jos n=3k=3, 6, 9, ... niin a(n)=(2k)^2=(2n/3)^2=4, 16, 36, 64, ...
240. Juhani Heino23.7.2015 klo 18:40
Oikein, Jaska. Jonon alkuun laitetaan kaksi lukua ja loput muodostetaan aina kahden jonossa olevan luvun summana. Mutta sehän tarkoittaa samalla, että luvut ovat tuollaisia yhdistelmiä kuten Jaskalla.Jos toinen aloitusluvuista on 0, ei tietenkään päästä mihinkään vaan jäädään kahteen lukuun.
Jos toinen on 1 ja toinen mikä tahansa positiivinen kokonaisluku, jonoon tulevat kaikki kokonaisluvut kyseisestä luvusta alkaen.
Jos luvut ovat keskenään jaollisia, silloin tilanne on sama kuin tehtäisiin jono luvuista joista on "riisuttu" suurin yhteinen tekijä, ja sitten kerrottaisiin ne kyseisellä syt:llä. Eli jono 15,21 olisi sama kuin esimerkkitapaus, mutta luvut kerrottuina kolmella.
Jos kumpikin on negatiivinen kokonaisluku, etumerkki vain vaihtuu mutta muuten tulos on sama kuin positiivisilla.
Jos toinen on negatiivinen kokonaisluku ja toinen positiivinen, saadaan täytettyä koko lukusuora. Edellämainitusta jaollisuudesta riippuu täyttyykö kaikilla kokonaisluvuilla.
Muuten siis aika triviaalia, mutta jotain matemaattisesti kiinnostavaa löytyy jäljelle jäävästä tapauksesta: luvut ovat keskenään jaottomia kuten esimerkissä. Jätän toistaiseksi pohdittavaksi.
241. Olavi Kivalo23.7.2015 klo 19:01
Minua varmaan sotki se, että jos n=5 = 3k-1, jossa k=2, kaava antaa (2*2)^2=16. Ja jos n=6 = 3k, jossa k=2, sama kaava antaa saman eli 16. Ja jos kaava kirjoitetaan auki jonoksi, se näyttää tältä
a(n) = 1, 4, 4, 9, 16, 16, 25, 36, 36, …
jossa siis a(3), a(6), a(9), ... eivät ole niitä, joita haetaan.
242. Jaska23.7.2015 klo 21:58
Onhan se sarjaviritelmäni tavallaan väärä ratkaisu, koska siinä yhteenlaskettavat ovat vain vitosia ja seiskoja. Syntyy siis epäsuuruusjärjestyksiä ja samojen lukujen esiintymistä useammin kuin kerran.Päädyin malliini huomattuani siihen sisältyvän 6n-1/6n+1 -tapauksia. Niistä puuttuvat ainoastaan 11-13, 23-25 ja 35, jonka pari 37 syntyy yhteenlaskettavien kombinaatiosta kuusi vitosta ja yksi seiska. Jonoon sisältyvät siis kaikki alkulukukaksoset kahta yllämainittua ja paria 3-5 lukuun ottamatta.
243. Jaska23.7.2015 klo 22:05
P.S. Aloitusluvuilla 3 ja5 saadaan mukaan kaikki 6n-1/6n+1 -luvut.
244. Jaska23.7.2015 klo 22:08
... paitsi 5-7.
245. Olavi Kivalo24.7.2015 klo 10:29
Symmetriatarkastelun avulla syntyy uudenlainen persulaattaoxo
xox
oxo
Sen avulla on muodostettavissa symmetrisiä rakenteita n:n arvoille 3k, k=1,2,3, … , joiden täyttöasteet ovat korkeampia kuin Matin laatalla tuotetut. Ero on helposti laskettavissa ja a(n) ennustettavissa.
Symmetrisen persulaatan avulla täsmennetty jono näyttää nyt tältä
a(n) = 1, 4, 6, 9, 16, 20, 25 36, 40, 49, 64, 68, 81, …
(Ei edelleenkään OEIS:ssa)
246. Olavi Kivalo25.7.2015 klo 10:24
Summa summarum.Tämä probleema on idealisoitu versio parkkipaikan täyttötehtävästä, jossa etsitään lukujonoa, joka kuvaa nxn-suuruisen parkkipaikan maksimaalista täyttöastetta n:n funktiona. Parkkipaikan täyttötehtävää on jonkin aika pyöritelty lukujonofanaatikkojen keskustelusaitilla erilaisilla reunaehdoilla.
Idealisoinnista johtuen tämä probleema on lähempänä laatoitustehtävää (ja olisi kai pitänytkin lanseerata sellaisena), jossa neliömäinen taso katetaan kahdentyyppisillä laatoilla, x ja o, rajoituksella että kolmen laatan, tyyppiä x, muodostamaa riviä ei saa esiintyä vaakasuorassa, pystysuorassa eikä diagonaalisesti, ja että tason täyttöaste laatoilla x on maksimaalinen.
Matin ensimmäiseksi esittämällä 3x3-makrolaatalla ja siihen pohjautuvilla lausekkeilla on ennustettavissa 2/3 jonon termeistä ja sen jälkeen ehdottamallani symmetrisellä 3x3-makrolaatalla loput 1/3.
Tuloksena on lukujono, joka ei ole OEIS:ssa. Sen matemaattinen kiinnostavuus on mielestäni paljolti siinä, että ratkaisu löytyy kahdella erilaisella makrolaatalla. Ajattelen esitellä tämän version kyseisellä saitilla. Jos se saa myönteisen arvion siellä, kannattaisi harkita sen julkaisemista OEIS:ssa.
Koska Matti on esittänyt ensimmäisenä osaratkaisun, joka on johtanut kokonaisratkaisuun, kysynkin nyt sinulta tämän seurakunnan edessä, nimimerkki Matti, ottaisitko omaksesi ajatuksen tämän lukujonon mahdollisesta julkaisemisesta kanssani.
247. Olavi Kivalo25.7.2015 klo 20:10
Matti, otatko kantaa edellä olevaan. Sitten kun ehdit. No panic.Sain juuri seuraavan viestin:
Veikko, Yes, please submit your version!
Best regards
Neil
(Veikko tarkoittaa minua. Esiinnyn muilla kuin sanataiteilufoorumeilla omalla nimelläni.)
248. Matti25.7.2015 klo 22:22
OK, mielenkiintoista. Nyt vähän kiireitä, palaan pikimmiten.
249. Juhani Heino26.7.2015 klo 09:41
En huomannut että Antin jonoon olisi ehdotettu jatkoa. Tässä villi arvaukseni:0, 1, 3, 5, 8, 12, 16, 21, 27, 33, 40, 48, 56, 65, 75, 85...
Omasta jonostani totean, että ei Jaskalla virhettä ole: mun määrittelylläni syntyy yhtä lailla väärää järjestystä ja kaksoiskappaleita. Ne vain siivotaan pois.
250. Jaska26.7.2015 klo 12:07
Joo, niin on. Olisi pitänyt tsekata lausumansa.Antin jonoa olen lenkeillä pähkäillyt tuntikaupalla vailla natsaamista. Juhani Heinon arvaus kolmen jonon limityksestä kunkin erotusjonon +6 -kasvuvälein stemmaa Antin jonojen alkuihin 4, 3, 3 termiä. Jos tämä oli Antin idea, niin termejä oli luvalla sanoen hävyttömän vähän. Ja koska Antti ei ole luonteeltaan hävytön, arvelen hänen ratkaisunsa olevan muun.
251. Olavi Kivalo26.7.2015 klo 12:26
Tämä Antin jono on valitettavasti (?) OEIS:ssa. Jos se on se, mitä Antti tarkoittaa, niin Juhani Heinon villi (?) arvaus on oikein.
252. Jaska26.7.2015 klo 16:43
Siis OEIS A000212. Alussa tosin kaksi nollaa, muuten stemmaa Antin alkuun. Antilla siis varsinainen troublemaker sequence. Ilmankos en osannut ratkoa:-(
253. Olavi Kivalo26.7.2015 klo 17:49
Nyt vain odotetaan ilmoitusta, että 33:n jälkeen tuleekin jotain aivan muuta.
254. Antti26.7.2015 klo 20:23
Ratkaisuni on KOKONAISLUKU (j^2/3),joten Juhani Heinon 85:een asti jatkama jonon alku on aivan oikein.
255. Olavi Kivalo26.7.2015 klo 20:30
Eli OEIS:n A000212 a(n) = floor(n^2/3)
256. Matti26.7.2015 klo 22:51
Tämä laattajuttu on vielä keskeneräinen. Voi olla, että optimaalinen a(n)=(2(n+1)/3)^2 kun n=3k-1, ja a(n)=((2n+1)/3)^2 kun n=3k+1, mutta todistusta ei ole. Nämä on saatu epäsymmetrisellä persulaatalla.Mutta kun n=3k, a(n) on tuntematon. Sekä epäsymmetrinen että symmetrinen persulaatta antavat kumpikin tuloksen (2n/3)^2, mutta tämä ei ole optimaalinen. Siis a(3k) pitää selvittää aina erikseen kokeilemalla, vai kuinka? Tiedetään että kun n=3, 6, 9 ja 12, niin a(n)=4, 20, 40 ja 68, vastaavasti. Mitä on a(15)? Rohkeuteni ei riitä sitä kokeilemalla selvittämään.
Tiedä sitten onko tämä esteenä OEIS:ään pääsylle. Luovutan kyllä toistaiseksi tahrattoman nimeni rinnallesi, jos näin toivot.
257. Jaska26.7.2015 klo 23:55
Palataan flooriin Antin intouttamana. Mikä summajono?9, 64, 169, 324, 529, 784, 1089 etc
258. Matti27.7.2015 klo 00:11
A(n)=1+3+5+ ... +(10n-5). Se floor-muotoilu jäi vielä löytämättä.
259. Antti27.7.2015 klo 07:32
Jaskan jono:j=0,1,2,...
a(j)=(3+5*j)^2
floor=?
260. Juhani Heino27.7.2015 klo 08:58
Villi arvaukseni Antin jonoon perustui täysin lukujen väliseen erotukseen:1,2,2,3,4,4,5,6,6,7,8,8,9,10,10...
261. Antti27.7.2015 klo 09:51
Juhani Heinon arvauksella saadaan jatkossakin peräkkäisten erotuksilla11,12,12,13,14,14,... samoja lukuja kuin kaavallani.
262. Olavi Kivalo27.7.2015 klo 10:49
Todellakin. Lausekkeen floor(n^2/3), n=0,1,2,... toiset differenssit muodostavat loputtoman jonon periodilla 1,1,0. Villiä!
263. Jaska27.7.2015 klo 10:51
Matti ja Antti, tutkailkaapa seuraavaa:0, 0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 16, 20, 24, 28, 33, 39, 45, 51, 57, 64, 72, 80, 88, 96, 105, 115, 125...
264. Olavi Kivalo27.7.2015 klo 11:28
Tässä ratkaisu maksimaaliselle täyttöasteelle perustuen seuraaviin kaavoihin.n=3k-1, k=0,1,2,… : a(n)=(2n+1)^2/9
n=3k+1, k=1,2,3,…: a(n)=(2n+2)^2/9
n=3k, k=2,3,4,…: a(n)=(4n^2)/9+4 ja a(3)=6
Saadaan jono:
a(n) = 1, 4, 9, 16, 20, 25, 36, 40, 49, 64, 68, 81, 100, 104, ...
Jos tarkastellaan laatoitusta ihan käytännön tasolla, niin kaikkia aloja ei tietenkään voi laatoittaa täydellisesti pelkästään yhdellä laattakoolla, vaan ainoastaan nxn-suuruiset, jossa n on jaollinen.
3x3-peruslaatalla voi kattaa vain (3k)x(3k)-alat. Määrittelemäni persulaatta kattaa ne lisäksi maksimaaliseen täyttöasteeseen, mutta vain, jos on käytettävissä erillinen epäsymmetrinen 3x3-laatta jokaiseen neljään kulmaan:
Persulaatta ja kulmapala
oxo xxo
xox xox
oxo oxo
Muut alat on täytettävä sinun 3x3 peruslaatallasi, jolloin saadaan maksimaalinen täyttöaste, mutta reunoille tarvitaan vajaita laattoja seuraavasti
Peruslaatta ja reunapalat:
xxo xx x xx x
xxo xx x xx
ooo oo o
265. Olavi Kivalo27.7.2015 klo 19:08
Tätä tulee vielä pyöritellä. Mm. todistukset puuttuvat, että noilla laatoituksilla saatavat täyttöasteet ovat todella maksimaalisia. Tätä maksimaalisen täyttöasteen vaatimusta ei oikein voi pudottaa poiskaan, koska silloin herää kysymys, miksi on tarve käyttää kahta peruslaattatyyppiä. Yksi mahdollisuus on julkaista jono varustettuna konjektuurilla, että näin toteutettu laatoitus tuottaa maksimaalisen täytön.
Pyytäisin, että Matti tarkastaisi osaltaan, ettei edelliseen ole jäänyt bugeja. Voisimme jatkaa keskustelua kahden kesken muulla foorumilla (esim. emailitse), mutta olisi myös hyvä, että muutkin kiinnostuisivat esittämään kriittisiä kommentteja.
266. Juhani Heino27.7.2015 klo 19:51
Pikkubugi on, että a(3)=6 jäi pois jonosta.Olen aika varma siitä, että tapauksille 3k-1 Matin peruslaatta on ainoa maksimaalinen, mutta muissa tapauksissa jää epäilys olisiko sittenkin jotain isomman kuvion täyttöä joka päihittää toistetut peruslaatat.
267. Olavi Kivalo27.7.2015 klo 20:47
Kiitos, mutta a(3)=6 on mainittu.Mitä maksimaalisuuteen tulee, niin olen samaa mieltä. Todistus tässä tapauksessa on kuitenkin helpoimmasta päästä. Ei tarvitse kuin etsiä kaikki permutaatiot valitulle pienehkölle nxn-alalle ja poimia maksimi. Jaksollisuus takaa, että sama pätee isommille äärettämään asti. Tämä vaatii vain jonkun verran työtä.
268. Juhani Heino27.7.2015 klo 23:38
Mainittu kyllä, mutta puuttui tuosta klo 11:28 jonosta.
269. Antti28.7.2015 klo 08:36
Jaskan 27.7.2015 klo 11:28Excelillä löytyi seuraava
a(j)=KOKONAISLUKU((-1,8417*j+0,0083)^2/10,11)
9
270. Antti28.7.2015 klo 08:40
{Saisiko joku edellisestä pois tyhjät rivit ja 9:n?}
271. Olavi Kivalo28.7.2015 klo 10:18
Pahus, niinpäs puuttuukin. Hienoa, että huomasit. Jono on siis:1, 4, 6, 9, 16, 20, 25, 36, 40, 49, 64, 68, 81, 100, 104, 121, 144, ...
272. Jaska28.7.2015 klo 11:56
Antti, tarkoitatko minun viestiäni 27.7. 10:51 vai Olavin Kivalon 11:28? Olipa kumpi hyvänsä, en tajua tarkoitustasi.Floorjononi 10:51 ei siis ilmeisesti ole auennut Antille eikä mahd. muille sitä vilkaisseille. Asiayhteyden muistaen se on kyllä tarkemmin syventymällä ihan pehmis.
Entäpä se summajono? Miten rakentuu? Vrt. vastaavaan Antin floorauksella:
4, 25, 64, 121, 196, 289, 400...
273. Jukkis28.7.2015 klo 12:50
En minäkään tuota Antina(j)=KOKONAISLUKU((-1,8417*j+0,0083)^2/10,11)
tajua.
j:n arvolla 0 tuosta tulee kyllä 0, mutta j=1 antaa 1:n, kun Jaskan jonon toinen termi on 0. Ja siitä eteenpäinkin Antin kaava antaa ihan vääriä lukuja.
274. Jaska28.7.2015 klo 12:58
Antin jono oli siis floor n^2/3, kun n 1, 2, 3, 4...
275. Jukkis28.7.2015 klo 13:24
Kun en ollenkaan tajua, miksi Jaska tuon edellisen huomautuksen katsoi tarpeelliseksi tähän väliin laittaa, on pakko todeta, että en tajua teidän floor-jutuista mitään.
276. daisy28.7.2015 klo 14:07
Ristikko valmis, kiitos avuista. Yks juttu vaan ihmetyttää. Millä perusteella ylävasemman koirankuvasta tulee se mikä tulee? Miks koira on tuossa asennossa? Ihan kuin se seisois etutassut joidenkin tikkujen varassa. Mitä roinaa siinä maassa näkyy? Kuvassa pitäis olla joku yhteys ruokanappulaan tai jätöspapanaan, mutta mutta, onks semmosta yhteyttä?
277. daisy28.7.2015 klo 14:07
Väärä säie, sori.
278. Olavi Kivalo28.7.2015 klo 16:56
Desimaaliluvusta tehdä kokonaisluku tiputtamalla desimaalit pois. Jos valitaan seuraava ylempi tai seuraava alempi kokonaisluku välittämättä siitä, mitkä desimaalit ovat, käytetään joko Floor tai Ceiling funktiota, eikä ole kovin vaikea päätellä kumpi tarkoittaa kumpaa. Jos valinta tehdään sen mukaan, mikä desimaaliosa on, käytetään pyöristysfunktiota Round.Esim.
Floor(2,4)=2
Ceiling(2,4)=3
Round(2,4)=2
279. Jaska28.7.2015 klo 18:01
12:58 oli tarkoitettu helpottamaan eilisen 10:51 tunnistamista. Onhan kyseinen selviö tosiaan siten vajavainen, että siinä ei ole vinkkiä jonojen erilaisuuden aiheuttajasta. Niinpä lisäys: Antin neliöiden jakaja on 3.
280. Olavi Kivalo28.7.2015 klo 21:54
Kuten intuitio varoittaa, nuo 3k+1 tapaukset ansaitsevat tulla tarkastetuiksi.En ole vielä keksinyt tehokasta menetelmää sen tekemiseksi yleisellä tasolla, mutta etsin kokeilemalla ratkaisuja 7x7-ruudukolle. Löysin ihan kokeilemalla varsin helposti kaksi symmetristä ja kaksi epäsymmetristä ratkaisua, joissa miehitettyjä ruutuja on 26 aiemman 25 sijaan eli a(6)=26.
Esimerkki symmetrisestä:
xxoxoxx
xoxoxox
ooxoxoo
xxoooxx
ooxoxoo
xoxoxox
xxoxoxx
Lisääkin parannettavaa voi löytyä. Päivän versio on siis
1, 4, 6, 9, 16, 20, 26, 36, 40, 49, 64, 68, 81, 100, 104, 121, 144, ...
281. Antti29.7.2015 klo 05:25
Korjaus: Edellisessä ratkaisuyrityksessäni Jaskan 27.7.2015 klo 11:28jonosta olin jättänyt toisen 0:n pois.
Nyt Excelin ratkaisimella löytyi seuraava
a(j)=KOKONAISLUKU((14,27214*j^2+31,57284*j)/71,756 34)
282. Antti29.7.2015 klo 05:28
a(j):n on tarkoitus ollaKOKONAISLUKU((14,27214*j^2+31,57284*j)/71,75634)
283. Olavi Kivalo29.7.2015 klo 10:16
Tuo Antin ratkaisutapa näyttää vähän samanlaiselta all-purpose-menetelmältä kuin n:nnen asteen polynomin fittaus annettuun lukujonoon, jossa on n termiä.Sitä paitsi en minä ainakaan saa lauseketta yhtymään noihin Jaskan lukuihin.
284. Jaska29.7.2015 klo 11:13
Mitä ihmettä horiset, Antti? Etkö usko, että 27.7. 11:28 viestitti Olavi Kivalo, en minä?Ei minun esittämäni jonon 27.7. 10:51 mitää ekseleitä sun muita pikseleitä tarvita. Pöytälaskuri riittää, jos muutamien pienten kokonaislukujen kertominen ja jakaminen ei päässälaskuna onnistu.
285. Antti29.7.2015 klo 11:32
Jaska, tosiaan sinulta oli 27.7 klo 10:51. Kokeilin exceliä, kun nähnyt, mitä kerrotaan ja jaetaan.
286. Jaska29.7.2015 klo 11:39
Perun ihmettelyni vuolaiden anteeksipyyntöjen kera. Älkää missään nimessä antako, en ole ansainnut sitä. Viidennen termin pitää tietysti olla 5 eikä 4, kun floorjono on n^2/5, kun n 1, 2, 3, 4, 5...Mutta se on siis vain välivaihe kysymyksen 26.7. 23:55 ratkonnassa. Mistä summista jonon neliöt rakentuvat?
287. Jaska29.7.2015 klo 11:43
Jonon korjattu alku siis 0, 0, 1, 3, 5, 7, 9, 12, 16, 20...
288. Olavi Kivalo29.7.2015 klo 12:53
Paras symmetrinen täyttö 10x10-ruudukkoon, jonka olen löytänyt on 48. Sen sijaan 49, mikä saadaan ylläolevalla 3k+1 kaavalla ja syntyy muillakin epäsymmetrisillä tavoilla, näyttää maksimilta.
289. Olavi Kivalo29.7.2015 klo 18:45
Tarkastelin täyttöasteen raja-arvoja, kun n->oo. Kaikki kolme kaavaa antavat saman tuloksen. Täyttöaste lähestyy arvoa 0,444444. Yritin löytää 13x13-ruudukolle suurempaa täyttöä kuin (3k+1)-kaavan antama 81. Paras löytämäni symmetrinen täyttö oli 80 eli täyttöaste oli 0.479. Voi olla, että pienillä n:n arvoilla esiintyy joitain anomalioita ja kaavat sittenkin edustaisivat maksimitäyttöä kun n kasvaa.
290. Matti29.7.2015 klo 21:54
Konjektuuriani 22.7. 2015 klo 22:08 ei siis vielä ole kumottu.Minun on vaikea uskoa, että esitetyt kaavat tapauksille n=3k ja n=3k+1 ollsivat suurille k:n arvoille eksaktisti oikeat. Ne pysyvät kai likiarvoina, joiden virhe per n lähestyy nollaa kun n kasvaa.
Olisi kiva tietää mitkä arvot jonon tämän päivän versiosta on kokeilemalla todettu oikeiksi. Onko esim. a(15) todella 104, ja a(16) todella 121.
OK:n 27.7. 2015 klo 20:47 esittämää metodia formaaliksi todistukseksi pidän ylioptimistisena.
291. Olavi Kivalo29.7.2015 klo 22:48
Permutaatiot ovat tunnetusti varsinainen brute-force menetelmä - siinä mielessä helppo. Jo kohtuullisella termimäärällä joudutaan konekapasiteetin rajoille. En varsinaisesti esittänyt, että sille tielle pitäisi mennä, ellei sitten jollain ole jotain siihen perustuvaa ohjelmaa tai expertiisiä. Tähän asti olen tehnyt vain kokeiluja paperilla täyttelemällä ruutuja ja saanut myös tapauksille 12x12, 13x13, ja 15x15 useita ratkaisuja, joista yksikään ei ylitä sitä, mitä kaavamme antavat. Siinä on niiden oikeellisuus. On tietysti mahdollista, että se paras on aina jäänyt löytymättä. Toivoisin, että tämä aarteenetsintä kiinnostaisi muitakin.
Minusta on kiinnostavaa, että kun n kasvaa, niin kaikilla kaavoilla saadaan lopulta sama tulos eli 4/9. Jos joku kaavoista olisi virheellinen, näin ei kävisi, vai tulkitsenko väärin.
292. Matti29.7.2015 klo 22:55
Oikein tulkitset, ellen sitten itse ole väärässä.
293. Olavi Kivalo30.7.2015 klo 17:35
Täyttöasteiden pieneneminen n:n kasvaessa selittyy yksinkertaisesti sillä, että alueen reunaosien merkitys vähenee. Reunimmaisten rivien täyttöasteet ovat muita korkeammat.Voitaisiinko määritellä, että nämä kaksi peruslaattaa ovat ne, joilla saadaan korkein täyttöaste (4/9) kaikille ruudukoille (n=1...oo), kun reunaosien vaikutus on eliminoitu?
294. Juhani Heino30.7.2015 klo 18:37
En kovin kauan ehtinyt leikitellä kuvioilla, mutta tästä voisi olla hyötyä.xxooxx
xxoxox
oooxxo
oxxooo
xoxoxx
xxooxx
Laitetaan siis diagonaaliin Olavin 3x3-paloja ja täydennetään loput Matin paloilla jotka osoittavat ulkokulmiin. Tässä 6x6:ssa päästään samaan tulokseen kuin aiemmin, mutta hyöty alkaa näkyä myöhemmissä 3k -tapauksissa. 9x9:ssä käsittääkseni 3*6+6*4 = 42.
12x12: 4*6+12*4 = 72
15x15: 5*6+20*4 = 110
18x18: 6*6+30*4 = 156
jne.
295. Jaska30.7.2015 klo 19:35
Parkkineliöt Sq 2, 5, 8, 11 jne maksimi saadaan 2x2 neliöillä. Niitten rajaarvo on siis 4/9. Tietysti myös yksi ainut fiude parkkipaikalla on maksimi 1.Sq 4, 7, 10 jne voidaan kostruoida simppelisti 1*2 suorakaiteilla, joilla OK:n saamat maksimit ylittyvät lukuunottamatta kahta pienintä. Esim. Sq 10 seuraavasti:
xoxoxoxoxo
xoxoxoxoxo
oxoxoxoxox
oxoxoxoxox
xoxoxoxoxo
xoxoxoxoxo
oxoxoxoxox
oxoxoxoxox
xoxoxoxoxo
xoxoxoxoxo
Sq 10 siis 50 Näin saadaan OK:n laskemia isommat tulokset lukuunottamatta Sq 4 ja 7, joissa metodi antaa tulokset 6 ja 25, kun rekordit ovat 9 ja 26. Se herättää tietysti kysymyksen, voidaanko muitakin vielä parantaa 50 prosentista. Hytinä on kuitenkin, että se on maksimi.
Sq 3, 6, 9 jne voidaan konstruoida pätkäisemällä edellisistä uloin vaaka ja uloin pysty pois. Näinkin syntyy isompia rekkoja, esn. Sq 9 43, kun se oli OK:lla 40 ja Juhani Heinolla 42.
Summa summarum, kaikkien neliöiden maksimien yhteisen
raja-arvon täytyy olla suurempi kuin 4/9 eli 0,44444..
Tai sitten minä olen totaalisen yössä, niin kuin usein ennenkin.
296. Jaska30.7.2015 klo 19:41
Niin kuin olinkin, jos ynnäämislipsukset lasketaan. Sq 9 piti olla 41, siis Juhani Heinolla parempi tulos ja ilmeinen rekka 43. Nyt sitten vaan petrailemaan myös Sq 12, 15, 18 jne samoin tai sovelletuin kuvioin kuin JH:lla.
297. Jaska30.7.2015 klo 19:58
Syvä huooooh... Juhani Heinon rekka siis 42.
298. Matti30.7.2015 klo 21:22
Konjektuurini väite täyttöasteen raja-arvosta 4/9 on siis Jaskan toimesta upotettu. Juhanin kuvion raja-arvo on tuo 4/9. On huomionarvoista, että Juhanin tulos antaa oikein a(3)=6. Myös kai väite n=3k-1 lausekkeeni optimaalisuudesta upposi.
299. Matti30.7.2015 klo 21:25
Pul pul.
300. Matti30.7.2015 klo 21:30
Jaskan kuvion myötä on kai selvää, että raja-arvo kaikissa kolmessa k-tapauksessa on 1/2.
301. Olavi Kivalo30.7.2015 klo 22:05
Tämähän etenee hienosti. Tosin lanseerasin tämän OEIS-porukalle laatoitusideana, jossa käytetään kahta 3x3-makrolaattaa, mutta ei sekaisin (tosin en ollut tuosta määrittelystä erityisen ylpeä). Mikään ei estä laajentamasta ongelman määrittelyä joko niin, että syntyy useampi erillistapaus, jotka poikivat omat lukujononsa, tai yksi, jonka kiinnostavuus on yli muiden. Sekä Juhani Heinon että Jaskan löydökset ovat erinomaisia ja houkuttelevat tutkimaan lisää.
302. Jaska31.7.2015 klo 13:15
Hoidetaan ennen lisätutkimuksia floorausenigmani ratkaisu alta pois: suuruusjärjestyksessä viiden peräkkäisen termin 1-5, 6-10, 11-15 jne summat. Vastaavasti Antilla kolmen peräkkäisen 1-3, 4-6, 7-9 summat, jotka siis myös ovat neliöitä.Termejä ryhmissä siis n^2:n jakajan mukainen lukumäärä. Jakajan ollessa >1 syntyy summista puhdas naliöjono vain tapauksissa n^2/3 ja n^2/5. Houkuttelisi todistaa ko. konjektuuri, mutta en nyt tähän hätään ole siihen kykeneväinen.
303. Olavi Kivalo1.8.2015 klo 14:40
Tähän mennessä on tapahtunut. Etsitty nxn-ruudukon laatoitusta ensiksi 3x3-makrolaatoilla, sitten 2x2-makrolaatoilla, joissa osa ruuduista on täynnä (x) ja osa tyhjiä (o) tavoitteena maksimaalinen x:n täyttöaste annetut rajoitteet huomioiden (ei kolmen x:n jonoja vaakaan, pystyyn eikä diagonaalisesti).
Täyttö yhden lajin makrolaatoilla:
a) (3k)x(3k)-ruudukko symmetrisellä 3x3-laatalla A, k=1,2,3,...,oo
oxo
xox = A
oxo
Täyttö:
AA...
AA...
...
a(n) = (n-k)^2, n=3k, k=0,1,2,3,...
-> a(n) = 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400, ...
Täyttöaste: -> 4/9 = 0,44444
(2k)x(2k)-ruudukko epäsymmetrisellä 2x2-laatalla B
xo ox
xo = B1 ox = B2
Täyttö:
B1B1B1...
B2B2B2...
B1B1B1...
...
a(n) = 2k^2, n=2k, k=1,2,3,...
-> a(n) = 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, 162, 200, 242, 288, ...
Täyttöaste: -> 1/2 = 0,5
Täyttö kahden lajin makrolaatoilla:
(3k)x(3k)-ruudukko symmetrisellä 3x3-laatalla A1, k=1,2,3,...,oo ja epäsymmetrisellä 3x3x-laatalla C
oxx xxo ooo
xox = A1 xxo = C1 oxx = C2
xxo ooo oxx
Täyttö:
...C1C1C1A1
...C1C1A1C2
...C1A1C2C2
...
a(n) = 4k^2+2k, n=3k, k=1,2,3,...
-> a(n) = 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, 272, 342, 420, 506, 600, ...
Täyttöaste: -> 4/9 = 0,44444
Lisäksi on tuotettu kahden eri koon makrolaattojen ratkaisuja ruudukoille, joita ei voi täyttää täydellisesti 3x3 tai 2x2 makrolaatoilla. Palaan niihin erikseen. Nämä tässä esitetyt jonot esiintyvät kaikki OEIS:ssa.
304. Olavi Kivalo2.8.2015 klo 11:40
Valitettavasti nuo laattakauvaukset symboleineen tuossa edellisessä sekosivat niinkuin epäilinkin. Ns. Jaskan 2x2-laatta (yök) on siis
xo
xo
jota merkitsin symbolilla B1, ja pyöräytettynä 180 astetta (uff)
ox
ox
symbolilla B2.
Juhanin koosteessa toinen 3x3-laatta (ns. Matin laatta) esiintyy samalla tavoin kahtena (yääk)
xxo
xxo
ooo
jota merkitsin symbolilla C1, ja pyöräytettynä 180 astetta
ooo
oxx
oxx
symbolilla C2
Nuo symbolit palvelivat siis vain täyttötavan kuvausta.
Kannattaa lukaista, kuinka lukujonojen kuvaukset on esitetty OEIS:ssa
A016742 a(n) = (2n)^2
A001105 a(n) = 2*n^2
A002943 a(n) = 2*n*(2*n+1)
305. Juhani Heino2.8.2015 klo 21:45
Jaskan 2x2 toimii kaikilla luvuilla ja löytyy jonosta A000982 eli Ceiling(n^2/2). Huomasin muuten, että sehän on šakkilaudan toisen värin (parittomassa tapauksessa runsaamman) määrä. Löytyyköhän tästä jokin yhteys...
306. Olavi Kivalo2.8.2015 klo 22:47
Makrolaatalla 2x2 voi täyttää vain (2k)x(2k) ruudukoita ja makrolaatalla 3x3 voi täyttää vain (3k)x(3k) ruudukoita. En ihan ymmärrä mitä Juhani tarkoittaa sanomalla, että Jaskan 2x2 toimii kaikilla luvuilla. Ehkä sitä, että ruudukko katetaankin ei yhden, vaan useamman (kolmen) kokoisilla makrolaatoilla. Nuo reunoihin tarvittavat lisälaatat olisivat x ja o.
307. Matti3.8.2015 klo 00:20
Jaskan kudelmasta löytyy yhteys shakkilautaan. Jos 2. ja 3. vaakarivi, 6. ja 7. vaakarivi etc. vaihtavat paikkaa, saadaan shakkilauta. Jos nyt Juhani Heinon aivoitukset oikein ymmärsin.
308. Matti3.8.2015 klo 00:43
Jaskan kudelma saadaan laatallaX0
X0,
jos sallitaan sen myös pyörähtävän 180 astetta.
Se toimii kaikilla luvuilla ainakin niin tulkiten, että tehdään ensin oikealle ja alhaalle äärettömyyksiin ulottuva Jaskan kudelma. Rajataan siitä sitten vasemmasta ylänurkasta alkaen nxn -kokoinen neliö.
Mutta optimaalisen a(n):n määritys on yhä hakusessa. Reunaefekteistä johtuen Jaskan kudelma ei ole optimaalinen. Sen täyttöaste lähenee kuitenkin arvoa 1/2 kun n kasvaa. Arvaus on, sttä sama koskee myös a(n) -jonoa.
309. Juhani Heino3.8.2015 klo 12:28
Juuri Matin tavoin ajattelin, että Jaskan laatoilla täytetään äärettömyyteen ja siitä rajataan haluttu alue. Kahden erilaisen sijasta voi käyttää yhtä 2x4 -laattaa jota toistetaan vaakaan ja pystyyn:xxoo
ooxx
Yhteydellä šakkilautaan tarkoitin jotain syvällisempää, joka kenties auttaisi optimitäyttöön. Vaikkapa jotain koordinaattimuunnosta.
310. Matti3.8.2015 klo 21:40
Onhan tuo rivinvaihto koordinaattimuunnos. Vaakakoordinaatti säilyy, pystykoordinaatit vaihtavat paikoitellen paikkaa. Eksplisiittinen lauseke on kömpelö, eikä tuo lisäarvoa.
311. Olavi Kivalo4.8.2015 klo 10:42
Jaskan 2x2-laatta lienee ratkaissut tapauksen 2kx2k, kun k>8.Tapaus 3kx3k vaatii vielä pohdintaa etsittässä sen maksimitäyttöä tilanteissa 3i≠2j.
Sitten on tutkimatta tapaus pkxpk, jossa p on alkuluku >3. Siitä voi löytyä yllätyksiä esimerkkinä 7x7, jonka maksimitäyttö näyttäisi olevan 26 täytöllä:
xxoxoxx
xoxoxox
ooxoxoo
xxoooxx
ooxoxoo
xoxoxox
xxoxoxx
Täytyypä tutkia tapausta 11x11, josko löytyisi parempi kuin Matin 64.
312. Juhani Heino4.8.2015 klo 10:52
Aion tehdä tietokoneohjelman ja kokeilla kuinka isoon neliöön teho riittää. Mutta vielä en ole ehtinyt aloittaakaan.
313. Matias-Myyrä4.8.2015 klo 10:59
Tuohon Olavin 7x7 ruudukkoon mahtuu yksi ruksi lisää ihan keskelle.
314. Jaska4.8.2015 klo 11:49
Mahtuu hyvinkin, vaan ei säännön mukaisesti. Kolmea peräkkäin ei saa siis olla myöskään diagonaalisesti eli kulmittain. 26 on varmasti maksimi.
315. Matias-Myyrä4.8.2015 klo 12:33
Niinpä, katsoin tuota jotenkin huolimattomasti.
316. Jaska6.8.2015 klo 13:18
Parkkineliöiden tutkailua helpotti ruutupaperille piirtely. Niin tapahtui myös seuraavassa, jossa piirtelyn kohteena olivat tiettyä säännöllisyyttä noudattavat suorakulmaiset kolmiot. Pinta-aloja koskevaan kysymykseen sain ratkaisuksi selväpiirteisen jonon:3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 70, 89, 110...
Mitä pinta-aloja kysytään?
317. Jaska6.8.2015 klo 18:40
Täsmennettäköön se säännöllisyys. Hypotenuusa = pitempi kateetti + 1.
318. Matti6.8.2015 klo 22:54
Pitäisikö kolme viimeisintä olla 99, 120 ja 143. Siinä on tullut väliin kymmenen pudotus. Sarja on tietenkin n^2-1. Tämän siis pitäisi olla pinta-alajono. Ei aukee.
319. Jaska6.8.2015 klo 23:13
No voi tuhatyksi sarvipäätä. Mikähän oikosulku minulle tuli. Kiire oli joka tapauksessa, kun eteisestä kuului "lähdetään jo!"Matti siis oikeassa, neliöjono jatkuu 99, 120, 143 jne. Mutta pinta-aloista tosiaan on kyse. Ehkä joku haluaa vielä funtsia, joten ratkaisua ei vielä ainkaaan tänään.
320. Jukkis7.8.2015 klo 09:09
Suorakulmaisia kolmioita, joiden toinen kateetti = n+2 ja toinen = 2n.
321. Olavi Kivalo7.8.2015 klo 10:31
Siis näinkö3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, … ?
Jos, niin alkuperäisiin lukuihin 70:stä lähtien tulee lisätä 10.
Mutta eikö hypotenuusan pitänyt olla pitempi kateetti+1?
322. Olavi Kivalo7.8.2015 klo 10:31
Siis näinkö3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, … ?
Jos, niin alkuperäisiin lukuihin 70:stä lähtien tulee lisätä 10.
Mutta eikö hypotenuusan pitänyt olla pitempi kateetti+1?
323. Jaska7.8.2015 klo 11:21
Aivan, hypotenuusa on pitempi kateetti + 1. Kolmioiden sivut ovat siten:3-4-5
5-12-13
7-24-25
9-40-41
11-60-61
13-84-75 jne.
Oma laskutapani antanee osviittaa: kolmion kokonaispinta-alasta vähennetään tietty yhteispinta-ala, joka ruutupaperille piirretyistä kolmioista on helppo silmämääräisesti laskea. Sitten on vain luotettava päättelyyn, että näin sen pitää jatkua hamaan äärettömyyteen.
324. Jaska7.8.2015 klo 11:22
Äh, alin siis 13-84-85.
325. Jukkis7.8.2015 klo 12:41
En näköjään huomannut tuota "hypotenuusa = pitempi kateetti + 1" -ehtoa kun oman ratkaisuni annoin.
326. Antti7.8.2015 klo 17:23
Tässä on edellistä muistuttavaa.10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 ?
327. Jaska7.8.2015 klo 18:40
Liittyykö sekin pinta-aloihin?
328. Antti7.8.2015 klo 19:27
Jaska, ei suoranaisesti liity pinta-aloihin.
329. Jukkis7.8.2015 klo 20:53
Siis tuohan on tietysti ihan itsestäänselvästi a(n) = (n+2)^2 + 1.Jokin erityinen idea tässä?
330. Jaska7.8.2015 klo 23:25
Täytyyhän siinä olla, mutta ilman vinkkiä pelii menee totaaliseksi arvaamiseksi. Ensimmäinen arvaus on luonnollisesti, että tämäkin liittyy suorakulmaisiin kolmioihin, mutta ei siis suoranaisesti pinta-aloihin. Epäsuorastiko siis? Ei viitsi pähkäillä ilman lisäehto(j)a-Joka toinen Antin neliöistä on muuten seuraavan sarjan hypotenuusa:
8-15-17
12-35-37
16-63-65
20-99-101 jne.
Näistä tulee aivan eri pinta-aloja, kun laskutapa on sama kuin em. toisessa sk-kolmiotyypissä.
Seuraavasta vinkistä oma (?) ideani saattaa aueta alle aikayksikön. Piirsin kolmiot luonnollisesti siten, että kateetit yhtyvät ruudutuksen viivoihin. Näin ollen hypotenuusa ei voi niihin yhtyä.
331. Antti8.8.2015 klo 08:29
Jonossani on kaikkien niitten suorakulmaisten kolmioitten hypotenuusat, joitten toinen kateetti = hypotenuusa - 2. Jaskan esittämä joka toisten kolmioitten jono täydentyy siten, että peräkkäisten lyhyitten kateettien vakioerotus on 2.
332. Antti8.8.2015 klo 08:49
Vielä täydennys: j:s hypotenuusa on (j+2)^2+1,
kuten Jukkis jo esitti.
333. Juhani Heino8.8.2015 klo 10:38
Nyt ohjelmani tuntuu toimivan luotettavasti, mutta kuten odotettua, hidastuu hyvin nopeasti n:n kasvaessa. 4*4-ruudukossa löytyi paljon 9-tuloksia. 5*5:ssä vain Matin kuvio jolla saatiin 16. 6*6:ssa oli paljon 20-tuloksia ja 7*7:ssä paljon 26-tuloksia. Näissä ei siis saatu ennätyksiä rikottua.
334. Olavi Kivalo8.8.2015 klo 11:44
Laatoitusprobleema.Jos palataan alkuperäiseen tavoitteeseen, joka oli nxn-ruudukon maksimaalinen täyttö annetuilla rajoitteilla (n=1,2,3,…), niin jono on vältämättä kooste, johon poimitaan eri laattatyypeillä saavutettavat maksimitäytöt. Se tarkoittaa, että jonon lausekkeelle ei saada yhtenäistä kaavaa.
OEIS:ssa julkaisemisen kannalta, josta myös tuli potentiaalinen tavoite, yhtenäisen kaavan puuttuminen ei ole este. Väite, että kysymyksessä on todella maksimitäyttöä kuvaava jono, tulisi kuitenkin joko todistaa tai esittää konjektuurina. Todistus lienee saavuttamattomissa, koska mittavatkaan numeeriset laskelmat eivät kelpaa todistukseksi.
Näyttää siltä, että n:n arvosta 15 lähtien kaikki maksimitäytöt saadaan 1x2-laatoilla xx ja oo Jaskan oivalluksen pohjalta.
Lisäksi näyttää siltä, että arvoilla 1…14 maksimitäytöt saadaan sekalaisesta joukosta.
Kaikki kokoa 1x1 suuremmat yksittäiset laattatyypit antavat tuloksia, jotka ainakin suuremmilla n:n arvoilla yhtyvät jo julkaistuihin, eivätkä sellaisina ole maksimitäyttöjonoja.
Kaikista tähänastisista yhteenvedetty jono on seuraava
1, 4, 6, 9, 16, 20, 26, 36, 42, 50, 64, 72, 85, 100, 113, 128, 145, 162, 181, 200, 221, …
Se on siis kooste mahdollisista maksimitäytöistä ilman todistusta. Ei ole pois suljettu, että yksittäisiä maksimeita vielä löytyy. Kokeilemalla erityisesti alueella n<15 voi yrittää, mutta käsin se on työlästä. Systemaattinen haku tietokoneohjelmalla, jos keksii tehokkaan koodin, voisi sellaisia löytää tai vahvistaa oletuksen, ettei sillä alueella ole, ja aluella n>15 voisi luottaa intuitioon.
Alueella n>15 jono siis yhtyisi jonoon A000982. Mielestäni maksimitäyttöjonolla on riittävästi kiinnostavuutta siitä huolimatta. Mutta sehän selviää sitten, jos päättää lähettää sen julkaistavaksi. Kaikkien kontribuuttoreiden nimet tulevat tietysti silloin mukaan.
335. Jaska8.8.2015 klo 11:50
Jaha, Antti tulkitsi mainintani täsmennyksen tarpeesta ratkaisun pyytämiseksi. No mikäpäs siinä, pässinä kun en heti hoksannnut yhdelmästä olevan kyse. Siinä siis joka toinen hypotenuusa eilistä sarjaa 23:25 ja joka toinen 11:21-sarjan monikertoja. Ihan hyvä knoppi.
336. Olavi Kivalo8.8.2015 klo 11:56
Juhani Heino: Mahdollistaisiko konekapasiteettisi jatkaa kokeiluja alueella n>7? Olisi kiinnostava tietää, millä koneella lasket, millä kielellä koodaat ja mihin ideaan koodisi perustuu. Olisiko näissä mahdollisuutta tehostaa?
337. Jaska8.8.2015 klo 11:58
Laatat, tosiaan. Itse asiassa sk-kolmiotehtävässänikin on kyse laatoituksesta. Jos ei ruutupaperia satu olemaan käsillä, niin kolmioita voi täytellä 1*1-laatoilla:)
338. Matias-Myyrä8.8.2015 klo 14:43
Minäkin tein viime sunnuntaina ohjelman C-kielellä. Ohjelma tulostaa ensimmäisen löytämänsä maksimiruksimäärän sisältävän ruudukon ja laskee montako yhtä hyvää löytyy.Ohjelma sylki seuraavat tulokset:
koko=4x4, ruksit=9, 33 kpl
xxox
xxox
oooo
xxox
aikaa meni 0.002 sekuntia
koko=5x5, ruksit=16, 1 kpl
xxoxx
xxoxx
ooooo
xxoxx
xxoxx
aikaa meni 0.016 sekuntia
koko=6x6, ruksit=20, 25 kpl
xxoxxo
xxoxox
ooooxx
xxooxo
xoxoox
oxxoxx
aikaa meni 1.184 sekuntia
koko=7x7, ruksit=26, 4917 kpl
xxoxxox
xxoxxox
ooooooo
xxoxxox
xoxooox
ooxoxxo
xxoxoxx
aikaa meni 1091.044 sekuntia
8x8 ruudukon laskemiseen käyttämälläni logiikalla menisi arviolta 10-15 vrk, joten en viitsi rääkätä konettani moisen takia.
339. Matias-Myyrä8.8.2015 klo 15:16
Kun laitoin ohjelmaan ehdon, että se lopettaa hakemisen, kun ensimmäinen 36 ruksia sisältävä 8x8 ruudukko löytyy, aikaa menee vain 8 millisekuntia. Tuossa 8x8 ruudukossa on hyvin suurella todennäköisyydellä vain tuo yksi 36 ruksia sisältävä ratkaisu.koko=8x8, ruksit=36, 1 kpl
xxoxxoxx
xxoxxoxx
oooooooo
xxoxxoxx
xxoxxoxx
oooooooo
xxoxxoxx
xxoxxoxx
aikaa meni 0.008 sekuntia
340. Juhani Heino8.8.2015 klo 21:12
Mäkin käytin C-kieltä. Jos kiinnostaa, voin kertoa tarkemmin mikä on periaatteena. Ohjelma aloittaa ahneesti Matti-tyyppisellä kuviolla ja alkaa sitten käydä muita läpi. Mielessä on pari tapaa optimoida vielä, mutta nyt on tällä versiolla pyörimässä 9*9 ja 10*10. 8 ja 11 antoivat heti sen Matti-tuloksen, ja vähään aikaan ei ainakaan löytynyt parempia, joten keskeytin ne ajot. 9*9 on tehnyt runsaasti 42-tuloksia, joten siinä ei ole parannusta vielä, mutta 10*10 löysi paljon 51:iä eli siinä tuli ennätys. Tässä esimerkki:XX_XX_XX_X
XX_XX_XX_X
__________
XX_XX_XX_X
X___X_X_XX
_X_X____X_
XX_X_XX__X
__X_XX_X__
X_X___XX_X
XX_XX_X_XX
341. Matias-Myyrä8.8.2015 klo 21:37
Olisikohan meillä Juhanin kanssa melko samanlainen logiikka ohjelmissa, kun ensimmäinen minun ohjelmani löytämä 10x10 on neljän ensimmäisen rivin osalta ihan samanlainen.koko=10x10, ruksit=51
xxoxxoxxox
xxoxxoxxox
oooooooooo
xxoxxoxxox
xxoxxoxoxx
ooooooooxo
xxoxoxxoox
xoxoxxoxxo
ooxoooxoox
xxoxxoxoxx
aikaa meni 210.080 sekuntia
342. Juhani Heino8.8.2015 klo 22:10
Joo. Laitoin nyt pyörimään uusiksi, ensin raksutti muutamia 50-tuloksia ja eka 51 oli täsmälleen sama kuin Matias-Myyrällä.
343. Matias-Myyrä9.8.2015 klo 07:29
"Voittorivi oli 3, 6, 9, 13, 19, 21, 36 ja lisänumerot 24 ja 29. Tuplausnumeroksi arvottiin 18."Kymmenestä arvotusta numerosta 7 kpl kolmella jaollisia eilisessä löttöarvonnassa. Lopuissakin (13,19,29) on jälkimmäisenä numerona kolmella jaollinen.
344. Juhani Heino9.8.2015 klo 09:44
Noista muutamasta "pieleen menneestä" kai johtui, että päävoitto oli vain kahdelle jaollinen ;)
345. Jaska9.8.2015 klo 11:22
Niin, ja tutkittaessa tarkemmin numeroita 13, 19 ja 29 havaitaan niiden olevan vain yhden päässä kolmella jaollisesta numerosta. Se viittaa jo manipulointiin!Sitä muuten on loton historiassa kaksi kertaa aiemminkin tapahtunut lottokoneen kieltäydyttyä toimimasta.
346. Juhani Heino10.8.2015 klo 12:50
En huomannut että täällä olisi vielä mainittu jonoa A181018. Jotkut muutkin ovat siinä pohtineet samaa ongelmaa. Laitoin pienen lisäyksen - haluatko Jaska kertoa oikean nimesi tätä varten? oeis.org/draft/A181018
347. Olavi Kivalo10.8.2015 klo 16:01
A181018 on julkaistu jo 2010, mutta vähän heppoisin perustein. Jonoa on korjailtu useaan otteeseen sen jälkeen, kun tämä ongelma nousi uudestaan esille seqfan-keskusteluryhmässä 15.7. nimellä parking lot for bad drivers. Ongelma oli huonosti määritelty ja aluksi etsittiin ratkaisua rajoitteella, että vain joku tai jotkut alueen laidoista ovat avoinna. Itse tulkitsin niin, että alue olisi avoin. Sitä ollan nyt tässä pyöritelty ja voidaan todeta, että toiset olivat nopeampia. Jos kukaan ei keksi jotain oheistuotetta, niin minun puolestani voisi edetä kohti uusia seikkailuja.
348. Juhani Heino10.8.2015 klo 19:27
Laitan sitten ainakin välipalaksi oman jononi jatkoa, samalla periaatteella kaksi sellaista jonka aloitusluvut ovat keskenään jaottomia. Huomaatteko säännöllisyyden?2,3,5,7,8,9,10...
3,5,8,11,13,14,16,17...
349. Matti10.8.2015 klo 20:22
Jos laattahommat on hoidettu, edetään kohti uusia seikkailuja säikeessä Lukujono 16. Kopioin sinne Juhani Heinon viimeisimmän.
KOMMENTOI