KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > PÄHKYLÄ
4012. Pähkylä
Olavi Kivalo27.5.2008 klo 11:23
Uusimman Tekniikka&Talous-lehden pähkinä on miellyttävää aivotreeniä, koska se ratkeaa pähkäilemällä.Ympyrä on jaettu kymmeneen sektoriin, jotka on numeroitu järjestyksessä yhdestä kymmeneen. Vain yhdessä kohdassa kahden vierekkäisen sektorin lukujen summa on sama kuin vastakkaisten sektorien lukujen summa eli 10+1=5+6. Numeroi sektorit uudelleen niin, että kahden vierekkäisen sektorin lukujen summa on aina sama kuin niiden vastakkaisten sektorien lukujen summa.
2. Ari27.5.2008 klo 12:37
Siihen taitaa olla nähdäkseni 192 eri ratkaisua jotka ratkoin piiaivoilla.
3. Olavi Kivalo30.5.2008 klo 10:15
Okei, tässä on yksi ratkaisu, jonka tuotin käyttäen pelkkää alkulimaa: 1,4,5,8,9,2,3,6,7,10. Tunsin, kuinka se vertyi.
4. Antti14.6.2008 klo 03:04
Toinen kysymys: Ympyrä on jaettu viiteen sekoriin siten, että seuraava sektori on aina saman verran edeltäjäänsä suurempi. Mikä on minkin sektorin asteluku?
5. Antti14.6.2008 klo 03:10
Jäi sanomatta: Etsi ratkaisu, jossa asteluvut ovat kokonaislukuja.
6. +114.6.2008 klo 10:48
70,141,213,286,360
7. Jukkis14.6.2008 klo 11:07
Ratkaisuja taitaa olla 36 erilaista.
8. Olavi Kivalo14.6.2008 klo 12:04
Aiemmin sektorit saattoivat olla hyvinkin erilaisia. Nykyisin, turkistarhausta koskevan EU-lainsäädännön myötä, kasvatushäkit ovat tilavampia ja direktiivi on vakiinnuttanut niissä minkin sektoriksi täydet 360 astetta.[On aika häippästä Jukolaan.]
9. Antti14.6.2008 klo 13:34
71, 141, 213, 286, 360 ei käy:1. Peräkkäisten kulmien astelukujen erotus ei ole vakio, vaan kasvaa aina 1:llä.
2. Viiden kulman astelukujen summa ei ole 360.
10. Jukkis14.6.2008 klo 14:08
Höh? +1:n vastauksessa sektorien kulmat ovat 70, 71, 72, 73 ja 74 astetta. Sitä, miksi ne piti esittää niin kuin +1 ne esitti, en osaa sanoa. Mutta ratkaisu on yksi niistä 36 mahdollisesta.
11. Antti14.6.2008 klo 14:16
Jukkis antoi minunkin vajavaista ymmärrystäni tyydyttävästi erään ratkaisun. Eräs toinen: 16, 44, 72, 100, 128.
12. +114.6.2008 klo 15:02
"..., seuraava sektori on aina saman verran edeltäjäänsä suurempi.""71, 141, 213, 286, 360 ei käy:
1. Peräkkäisten kulmien astelukujen erotus ei ole vakio, vaan kasvaa aina 1:llä."
???
13. Antti14.6.2008 klo 16:08
+1:lle:Jos 70, 141, 213, 286, 360 olisivat kulmat, niinkuin höppänä olin tulkinnut (eivätkä välisummat, niinkuin olit tarkoittanut), peräkkäisten astelukujen erotukset olisivat 71, 72, 73, 74.
14. Matti14.6.2008 klo 16:31
Kokonaislukuratkaisuja on 37, joista 2 "degeneroitunutta", nimittäin 0,36,72,108 ja 144, sekä 72, 72,72,72 ja 72. Muuten ensimmäinen sektori saa olla mikä tahansa kokonaisluku välillä 0 - 72. Lisäys on silloin (72 - ens. sektori)/2.Jos kokonaislukuvaatimusta ei ole, ratkaisuja on äärettömästi.
15. Antti14.6.2008 klo 16:47
Matti on matematiikan taitaja.
16. Jukkis14.6.2008 klo 18:36
Ei ole 37 ratkaisua vaan 36. Eihän tuossa 0,36,72,108 ja 144 -ratkaisussa ole kuin neljä sektoria.
17. Antti14.6.2008 klo 20:17
Käsittääkseni seuraava pähkinä on edeltäjäänsä kovempi. Löytyykö nelinumeroista kokonaislukua, jonka numeroitten summa on sama kuin luvun kaikkien alkutekijöitten kaikkien numeroitten summa?
18. Jukkis14.6.2008 klo 21:25
Eikös jokainen nelinumeroinen alkuluku kelpaa tuohon vastaukseksi? Niitä on 1061 kpl. Ehkäpä on paikallaan täsmennys, että haetaan ei-alkulukuja?
19. Jukkis14.6.2008 klo 23:20
Näyttäis olevan 327 kpl tommoisia lukuja. Esim. 9985 = 5*1997.
20. Antti15.6.2008 klo 06:48
Mikään nelinumeroinen alkuluku, esimerkiksi 1009 tai toiselta ääreltä 9973, ei tosiaan ole, Matin sanaa käytän, mikään degeneroitunut ratkaisu. Jukkis kertoi muista yhden esimerkin. Toisena olkoon 7447 = 11 * 677.
21. Matti15.6.2008 klo 10:45
Miten noita löytyy? Ihanko vaan kokeilemalla, vai jotenkin tietokoneavusteisesti?
22. Jukkis15.6.2008 klo 13:01
Tämä oli esimerkki pähkinästä, jonka ratkomisessa käsipelillä ei ole paljonkaan mieltä. Minä etsin netistä listan lukujen 1 - 10000 tekijöistä ja kirjoitin pikku ohjelmanpätkän, joka laski lukujen ja niiden tekijöiden numeroiden summat.
23. Antti15.6.2008 klo 13:23
Kirjoitin VB:llä ohjelman, joka hakee kokonaisluvun alkutekijät. Sitten kokeilin.
24. Olavi Kivalo15.6.2008 klo 14:53
Minusta Antin sektoriongelma ontuu pahoin. Siis viisi sektoria ja jokainen aina toista vierustoveriaan saman verran suurempi. Jos numeroidaan sektorit yhdestä viiteen ja aloitetaan ykkössektorista, niin viidennen kohdalla tulee ylipääsemätön pulma, kun ykkössektorin pitäisi olla taas saman verran suuurempi kuin vitossektori. Tämä ei toimi. Tätä ongelmaa ei olisi pitänyt esittää lainkaan napakoordinaatistossa vaan pitkin janaa, sillä janan päät eivät kohtaa.
25. Antti15.6.2008 klo 15:14
Huono huomaamaan kun olen, en huomannut esittäneeni ongelmaa napakoordinaatisto-ongelmana. Ajattelin {1, 2, 3, 4, 5} joukossa pysyteltävän. Muotoiluni siis ontui.
26. Jaska15.6.2008 klo 15:34
Olavi Kivalon tulkinta on mielestäni saivartelua. "Tämä ei toimi." Kyllä toimii, jos ratkaisija ymmärtää, mitä Antti tarkoittaa. Ja vielä varmemmin toimii, jos tehtävän sanamuoto on:Jaa ympyrä viiteen sektoriin asteluvuiltaan pienimmästä suurimpaan järjestyksessä a, b, c, d ja e siten, että sektorien astelukujen neljä erotusta b-a, c-b, d-c ja e-c ovat asteluvultaan samat. Kuinka monta kokonaislukuratkaisua, ja mitkä ovat niiden asteluvut?
27. Jukkis15.6.2008 klo 16:17
Tuolle siis jo ratkaisu on esitetty.Entäpä jos otetaan Olavi Kivalon huomautus huomioon ja esitetään pähkinä näin:
Jaa ympyrä viiteen sektoriin a, b, c, d ja e siten, että vierekkäisten sektorien astelukujen viisi erotusta b-a, c-b, d-c, e-c ja a-e ovat itseisarvoltaan samat. Kuinka monta kokonaislukuratkaisua, ja mitkä ovat niiden asteluvut?
Oma ensivaikutelmani ilman sen kummempaa miettimistä: Triviaali ratkaisu eli kaikki sektorit on 72-asteisia, on ainoa.
28. Jukkis15.6.2008 klo 16:35
... ja pienen miettimisen jälkeen tuo ensivaikutelma vaikuttaa oikealta. Uusi muotoilu: Osoita, että muita ratkaisuja ei ole, ei edes silloin kun tuosta kokonaislukuvaatimuksesta luovutaan.
29. Juhani Heino15.6.2008 klo 17:44
Ei tämä varmaan kunnollinen matemaattinen muotoilu ole, mutta:Kun erotuksen itseisarvo = x, c-a on aina parillinen, joko -2x, 0 tai 2x.
Silloin e-a on samalla tavalla parillinen. Eli a-e ei voi mitenkään olla x eikä -x.
30. Juhani Heino15.6.2008 klo 17:46
... siis silloin kun x ei ole 0 kuten Jukkiksen triviaaliratkaisussa.
31. Matti15.6.2008 klo 19:07
Juhani Heinon todistus menee läpi lähes sellaisenaan, vaikka luovutaan kokonaislukurajoituksesta.Jos b-a=x1, c-b=x2, d-c=x3 ja e-d=x4, on e=a+x1+x2+x3+x4
ja e-a=x1+x2+x3+x4. Toisaalta |e-a|=|b-a|=|x1|.Siis
|x1+x2+x3+x4|=|x1|. Kun kaikkien äksien itseisarvo on sama, Juhani Heinon pariteettipäättely osoittaa, että ainoa ratkaisu on, että kaikki äksät ovat nollia.
Tässä sektorien lukumäärä oli pariton, 5. Löytyykö nollasta poikkeavia ratkaisuja, jos sektoreita on parillinen määrä, vaikkapa 6?
32. Juhani Heino15.6.2008 klo 19:32
Jos sektoreita on parillinen määrä, triviaaleja ratkaisuja löytyy monenlaisia. Vaikkapa 1,119,1,119,1,119 ja mikä tahansa kuuden yhdistelmä jossa kahden perättäisen summa on 120. Kutsun tätä 0,1,0,1,0,1 -ratkaisuksi. Sitten 0,1,2,1,0,1 -ratkaisu josta esimerkkeinä 0,72,144,72,0,72 ja 50,62,74,62,50,62. Jos ihmettelette miten jälkimmäinen muodostettiin, siinä onkin sopiva (ja helppo) miettimisen aihe...Samalla tavalla toimivat 0,1,2,3,2,1 ja 0,1,2,1,2,1 eli niissä viimeinen on yhden päässä ekasta.
Neljästä sektorista saisi ainakin 0,1,0,1 ja 0,1,2,1 -ratkaisut (ei kai muita?) joista löytyy yhtä lailla variaatioita.
33. Matti15.6.2008 klo 19:54
Näinhän se menee. Sama asia vähän toisin ilmaistuna.Piirretään nk random walk. Lähdetään liikkeelle origosta, ja otetaan askel niin että x-koordinaatti kasvaa yhdellä, ja y-koordinaatti joko kasvaa tai vähenee yhdellä. Otetaan uusi samanlainen askel siitä mihin päädyttiin, jne.
Jos sektoreita on 6, otetaan 5 askelta. Jokainen sellainen polku, joka päättyy y-koordinaattiin 1 tai -1 antaa yhden ratkaisun.
Jokaista polkua vastaa viiden luvun jono - luvut ovat joko
+1 tai -1. Valitaan ensimmäinen sektori (ei liian suureksi) ja katsotaan lisäyksen (tai vähennyksen) suuruus niin, että kuuden sektorin summa on 360 astetta. Lisäys lisätään tai vähennetään +1/-1 jonon mukaan, ja ratkaisu on valmis.
Aika sotkuista näin verbaalisti esitettynä - kieltämättä.
34. Juhani Heino15.6.2008 klo 20:21
Mullakin 0,72,144,72,0,72 saattoi enemmän sotkea, vaikka tarkoituksena oli näyttää selvemmin miten ratkaisu toimii. Oikeastihan se tarkoittaa että sektoreita olisi vain neljä. Otetaan sitten esimerkki toisesta ääripäästä:55,61,67,61,55,61
35. Olavi Kivalo15.6.2008 klo 21:19
Juhani Heinon termein 0,1,2,1,0,1-ratkaisu on yleisesti jokoa=(360-5x)/6, b=(360+x)/6, c=(360+7x)/6, d=b, e=a, f=b
tai
a=(360+5x)/6, b=(360-x)/6, c=(360-7x)/6, d=b, e=a, f=b
jossa x on mikä tahansa luku.
Tietyillä x:n arvoilla saadaan asteiksi kokonaislukuja. Kun x=12 saadaan myös tuo annettu ratkaisu, jota piti ihmeteltämän 50,62,74,62,50,62, mutta myös ratkaisu 70,58,46,58,70,58.
Kuudella sektorilla on 20 ratkaisutyyppiä, jotka ovat parittain muuten samoja, mutta merkit eroavat kuten edellä.
36. Antti16.6.2008 klo 08:53
10, 0, 10, 17, 33, 64, 124, ...Mikä on lukujonon seuraava jäsen?
37. Olavi Kivalo16.6.2008 klo 09:28
Seuraava on 245 ja sitä seuraava 489 jne. Mutta mitkä ovat kaikki mahdolliset ratkaisut?
38. Antti16.6.2008 klo 09:36
Kaikkien mahdollisien ratkaisujen sijaan voin sanoa vain yhden muun: 124:ää seuraa 241 ja sitä 469.
39. Olavi Kivalo16.6.2008 klo 17:35
Nämä "Mikä-on-lukujonon-seuraava-jäsen"-ongelmat ovat mielenkiintoisia, koska ne nostavat esiin kysymyksen, onko niiden lainalaisuuksien joukko rajattu, jotka määrittelevät lukujonon, ja jos on, niin millä lainalaisuudella annettujen termien lukumäärä vaikuttaa jonoa määrittelevien lainalaisuuksien joukkoon. Jos lainalaisuuksien joukko on ääretön tai hyvin suuri, niin koko ongelma vesittyy.Tässä ongelmatyypissä on kysymys deterministisistä lukujonoista ja laeista. Stokastisten lukujonojen kohdalla seuraava jäsen on ennustamaton (lottoarvonnan tapaan).
40. Antti16.6.2008 klo 18:32
Sormituntuma-arvion mukaisesti annetun lukujonon määrittelevien lainalaisuuksien joukko on sitä mahtavampi,mitä vähemmän jonon jäseniä on ilmoitettu. Vaikka joukko olisi hyvin suuri tai mahtava, ratkaisijalle käyttökelpoisia vaihtoehtoja on vain rajatusti.
41. Olavi Kivalo17.6.2008 klo 19:29
[Sade sotki tenniksen. Jäi neitseellistä aikaa höpinälle.]Jos lukujonosta annetaan vain ensimmäinen termi, on ratkaisujen lukumäärä ääretön. Jos annetaan kaksi ensimmäistä termiä, on ratkaisuja edelleen ääretön määrä, mutta onko niitä nyt vähemmän?
Lukujono-ongelmia käytetään usein testeissä. Niissä ei kuitenkaan kysytä mitä lakia ratkaisija käytti.
Kuinka jatkuu lukujono 10, 0, 10, 1, 14, 1, 20, ... ja millä lailla?
42. Matti17.6.2008 klo 19:46
Miten jatkuu lukusarja -tyyppisillä tehtävillä on aina useita ratkaisuja. Jos tehtävä on "hyvä" ja "kunnollinen", yksi näistä ratkaisuista on kuitenkin kaikkia muita ilmeisempi ja "oikeampi". Juuri sitä ratkaisua tehtävässä etsitään. Hyvä testi tälle on se, että päädytäänkö samaan tulokseen, vaikka viimeinen annettu luku salattaisiinkin, t.s. sitä ei olisi annettu. Ne muut ratkaisut, vaikka formaalisti oikeita, ovat usein viisastelua.Täytyy nyt miettiä tuota Antin pähkylää.
43. Antti18.6.2008 klo 07:28
Vihje kalliin aikanne säästämiseksi: Ratkaisussani on mukana n:nen jäsenen laskulausekkeessa kokonaisluvuksi pyöristämistä. [Excelillä laskija voi käyttää kokonaisluku-funktiota.]
44. Jukkis18.6.2008 klo 10:20
Tuossa vihjeessä on sisäinen ristiriita. Ensin puhutaan kokonaisluvuksi pyöristämisestä, sitten Excelin KOKONAISLUKU-funktiosta, joka ei suinkaan pyöristä lukua, vaan katkaisee sen (eli poistaa desimaaliosan).
45. Antti18.6.2008 klo 10:31
Kiitos, Jukkis sinulle ja anteeksipyyntö kaikille. Korjattu vihje:
Ratkaisussani on mukana n:nen jäsenen laskulausekkeessa osalausekkeen alaspäin lähimmäksi kokonaisluvuksi pyöristämistä. [Excelillä laskija voi käyttää kokonaisluku-funktiota.]
46. Matti18.6.2008 klo 15:48
Antti, luovutan, ei onnistu. Minun puolestani voit kertoa ratkaisun.
47. Antti18.6.2008 klo 16:39
a[1] = 10, a[n] = summa a[i] (i=1, 2, ..., n-1)
- kokonaisluku (a[n-1]/(n-1) ) n=2, 3, ...
48. Jukkis18.6.2008 klo 19:23
Aika vaikea tommoista on keksiä. Paljon helpompi on sovittaa annetut arvot 6:nnen asteen polynomiin, jolloin saadaan ihan yhtä oikea ratkaisu: 10, 0, 10, 17, 33, 64, 124, 304, 896, 2572, 6618, ....Samalla menetelmällä saa jatkettua ihan mitä lukujonoa vaan, eli jos on annettu N lukua, aina löytyy polynomi astelukua N-1, jolla saa selville lukujonon kaikki arvot.
Nyt tuo polynomi on
10 - 53.78333333*n + 75.55555556*n^2 - 41.72916667*n^3 + 11.36805556*n^4 - 1.4875*n^5 + 0.076388889*n^6
Tässä lukujonon järjestysnumerointi alkaa 0:sta.
49. Jukkis18.6.2008 klo 19:32
Ja samalla tavalla Olavi Kivalon 17.6.2008 klo 19:29 antamalle lukujonolle löytyy jatko: 10, 0, 10, 1, 14, 1, 20, 794, 4634, 16726, 46782, ...Tuskin sama, joka OK:lla oli mielessä.
Nää on tietysti aika tylsiä näin ratkaistuina.
50. Olavi Kivalo19.6.2008 klo 00:51
Kuten Matti julistaa, yksi ratkaisuista on kuitenkin kaikkia muita ilmeisempi ja "oikeampi". Paljastan täten lukujononi "oikeamman" jatkon. Se on 10, 0, 10, 1, 14, 1, 20, 21, 9, 14, 5, 14. Jäljelle jäävät vielä kysymykset, mikä on tämän algoritmi ja onko tehtävä "hyvä" ja "kunnollinen".
51. Antti22.6.2008 klo 10:28
Olavi, onkohan ratkaisun paljastamisen aika?
52. Matti22.6.2008 klo 11:04
Minuakin ratkaisu kiinnostaa.
53. Totoro23.6.2008 klo 13:54
Olavin tehtävässä lukee selvästi J.Janatuinen (tai J Janatuinen)
54. Antti23.6.2008 klo 17:00
Erinomaista! Olavin luettelemat luvut olkoot b1, b2, ... b12. Silloin Totoron mainitsema merkkijono:
{ai} (i=1, 2, ...12)
saadaan näin: ai = CHR[b(i)+64]
55. Abtti23.6.2008 klo 17:06
{ai} (i=1, 2, ...12) = J@JANATUINEN
56. Matti23.6.2008 klo 20:03
Olavi Kivalo, oli ihan hyvä tehtävä. (Olisi kyllä pitänyt hoksata tehtävän juoni. Mutta kun numeroita annetaan, niin sitä vaan jumittuu siihen numeromaailmaan. Pitäisi ajatella avarammin.)
57. Antti24.6.2008 klo 16:03
Ehdotan kertomaan lukujonon säännön tai seuraavan jäsenen:1, 8, 0, 27, 37, 88, 128
58. Antti25.6.2008 klo 08:39
Lienee ratkaisun kertomisen aika.a1 = 1
a2 = 8
ai = (i-1)^3 - a(i-1) (i = 3, 4, 5, ...)
Seuraava jäsen = a8 =7^3 - a7 = 343 - 128 = 215
59. Matti25.6.2008 klo 09:36
Jotain pientä häikkää. Koska kyseessä on ensimmäisen asteen differenssiyhtälö (jopa ratkaistuna), yksi alkuarvo riittää.Jos a1=1, saadaan jatkoksi 0,8,19,45, ...
Mutta jos a2=8, saadaan jatkoksi Antin sarja. Silloin a1=-7.
60. Antti25.6.2008 klo 09:44
Kiitos, Matti!
61. Olavi Kivalo25.6.2008 klo 11:44
Näin pakkaa käymään. Malli ajaa todellisuuden (tässä Antin lukujonon) yli. Koedatassa täytyy olla jotain häikkää, kun joku piste ei sovi malliin. Todellisuus on väärä!
62. Antti25.6.2008 klo 12:33
Antti antoi väärän lukujonon,mutta todellisuus ei ole milloinkaan väärä.
63. Matti25.6.2008 klo 16:09
Pari puujalkavitsiä.Jos kartta ja maasto eivät pidä yhtä, yleensä maasto on oikein.
- Miksi norjalaisten muukalaislegioonalaisten varusteisiin kuuluu pala hiekkapaperia?
- Täytyyhän heillä olla kartta.
64. iso S25.6.2008 klo 21:54
Minä olen kauan sitten etsinyt pientä karttaan merkittyä järveä. Ei löytynyt. Laitoin syyn huonon suunnistustaitoni piikkiin mutta sitten sain tietää että järvi on aikoinaan ollut juuri karttaan merkityssä paikassa, mutta kuivattu niityksi.Koska kartta on joskus ollut oikein eikä se ole muuttunut, maasto on väärin.
65. Antti26.6.2008 klo 09:43
Kokeillakseni, olenko oppinut kantapään kautta, tekee mieli vielä kysyä, löytyykö seuraavan lukujonon säännön keksijää:1, 1, 2, 6, 15, 31, 56, 92, 141
66. Jukkis26.6.2008 klo 11:13
Jatkuu jotta 205, 286, 386, 507, ....
67. Antti26.6.2008 klo 11:42
..., silläa1 = 1 ja
ai = a(i-1 )+(i-2)^2, kun i = 2, 3, 4, ...
Hyvin selvitit.
68. Matti26.6.2008 klo 19:21
Ratkaistunaai = (2*i^3 - 9*i^2 + 13*i)/6
69. Antti26.6.2008 klo 19:42
Kiitos, Matti. Differenssiyhtälöiden ratkaisun hallitset. Minulla on oppimista. Voin vaikkapa netistä yrittää katsoa.
KOMMENTOI