KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > TALVIPULMA
2349. Talvipulma
Matti9.2.2006 klo 19:06
Tekniikka ja talous -lehdessä oli tällainen:Paavo heittää tulitikun, pituus 5 cm, lautalattialle, jonka lautojen leveys on myös 5 cm. Millä todennäköisyydellä tikku ei kosketa kahden laudan välistä rajaa?
2. marjaana9.2.2006 klo 19:18
Hyyh kun tuli lukion laajan matematiikan todennäköisyystunnit mieleen...
3. Jukkis9.2.2006 klo 19:27
0.3634En kerro miten sain.
4. jussi9.2.2006 klo 19:36
minäh sain takhaapäin 0,4538 %
5. Jukkis9.2.2006 klo 20:22
Päinvastoin kuin jussi-humoristi minä olen ihan tosissani. Testasin tuossa saamani vastauksen heittämällä tikkua noin miljoona kertaa. Tuli aika tarkkaan sama tulos. No, en oikeasti heitellyt, vaan simuloin Excelin satunnaisluvuilla tuota heittelyä.Kiva pulma.
6. Matti9.2.2006 klo 20:53
Jukkis, seuraavaksi tarkka arvo. Simulointi on tässä mielenkiintoinen. Lisää myöhemmin.
7. Matti9.2.2006 klo 20:54
Laittakaa tänne lisää talvipulmia, toivoo Matti.
8. Jukkis9.2.2006 klo 21:06
Saamani tarkka arvo on 1 - 2/pii.Luin taannoin jostain kiinnostavan jutun, jossa yhtenä pointtina oli se, että matematiikkaa tuntemattomalle, joka kuitenkin tietää sen verran, että pii on ympyrän kehän ja halkaisijan suhde, saattaa olla täysin käsittämätöntä se, että pii voi esiintyä paikoissa, joilla ei näyttäisi olevan mitään tekemistä ympyrän kanssa.
9. Arska9.2.2006 klo 21:12
Vastaus on sadan koeheiton jälkeen tasan 85% koska tikku kääntyy enemmän tai vähemmän poikittain pudottuaan lattialle. Näin ollen tikku "lyhenee" huomattavasti ja todennäköisyys osua lautojen saumaan pienenee. ;-)
10. Jukkis9.2.2006 klo 21:22
Niin tosiaan, minun vastaukseni voi tietysti olla myös väärä. Se, että sain Excelillä saman tuloksen ei takaa mitään. Sehän voi johtua siitä, että minulla on sama ajatusvirhe sekä laskennassa että simuloinnissa.
11. Matti9.2.2006 klo 23:39
Jukkis, ymmärtääkseni olet täysin oikeassa. Minusta veikeää on se jonka toit esiin, että simuloimalla piille saa näin mielivaltaisen tarkan lilkarvon. ... mitään tekemistä ympyrän kanssa. Toden totta, e^pi*i=-1.
12. Jaska10.2.2006 klo 00:08
Selvennetty laskutapa (oma tulkinta): kuvitellaan piirrettävän ympyrä keskipisteenä jokin lautarajan ja laudan keskikipisteen väliseltä janalta, ja lasketaan lautarajoen väliin jäävien sektoreiden suhde koko ympyrän pinta-alaan. Mitä useampi ympyrä keskipisteenään saman ko. janan eri piste, sitä suurempi tarkkuus. Lasketaan lopuksi keskiarvo mittauskertojen mukaan. Pitää tietysti olettaa kaikki pisteet yhtä todennäköisiksi. Teoreettiset luvut heittävät silti käytännössä, koska niissä ei oteta huomioon lautarajojen ja tikun leveyttä. Jukkiskaan ei tätä ottanut huomioon. Käytännössä tikku on pari milliä leveä, rikkipää vielä vähän leveämpi.
13. eikka10.2.2006 klo 17:53
jussi viestisi eilen 20:22 . Minä olen ainakin miljoona kertaa sanonut , että ei saa liioitella
14. Matti10.2.2006 klo 18:27
Sanoin tuon (23:39) vähän epäselvästi. Siis jännää on, että tulitikkua heittelemällä voi määrittää piille vaikka miten monta desimaalia.Tehtävä on vanha (niinkuin kai useimmat hyvät tehtävät). Itse törmäsin tuohon ensi kertaa n. 30 vuotta sitten.
15. Matti10.2.2006 klo 22:02
Laskin läpi tuon Jaskan reseptin, ja sain 1-1,667/pii. Siis läheltä liippasi, ja yllätyin siitä, että rakenne oli sama kuin Jukkiksella, 1-a/pii.Mutta jos Jaskan tapaan ei laskekaan pinta-aloja vaan kaarenpituuksia, saadaan juri Jukkiksen tulos, 1-2/pii. Itse päädyin Jukkiksen kanssa samaan tulokseen.
Tehtävä on vanha, kuten sanoin. Mutta vastausta en enää muista. T&T:n ratkaisu tulee torstaina. Toivottavasti eivät mokaa, kuten aika usein aiemmin.
16. Jukkis11.2.2006 klo 10:05
Kyllähän pinta-alojen avulla pitää ihan sama tulos tulla kuin kaarien avulla. Jos sektorin kulma on esim. 90 astetta, niin kaari on neljäsosa kehästä, ja samoin sektorin ala on neljäsosa ympyrän alasta. Ja vastaavasti tietysti muillakin kulman arvoilla.
17. Lettu11.2.2006 klo 11:58
Koska Paavo heittää tulitikun - siis yhden kerran - niin osumatarkkuus on 50-50. Tulitikku tippuu yhdelle laudalle tai sitten ei.
18. Jukkis11.2.2006 klo 12:24
Vastaat johonkin eri kysymykseen. Siis tähtääkö se Paavo johonkin tiettyyn lautaan? Mihin se tikku silloin tippuu, jos se ei tipu "yhdelle laudalle"? Montako niitä lautoja on?
19. Lettu11.2.2006 klo 12:45
Jukkis -> Höpö höpö: Tehtävähän on puhdasta Vipusta. No se "yksi lauta" on joku niistä 5 cm levyisistä n-laudoista, jotka muodostavat lautalattiapinnan. Oletettavasti tehtävässä esitetty lautojen liittymäkohta on peilisileä ja rosoton, mikä ei varmaan vastaa todellisuutta vai kuinka. Näin ollen testiheitot todennäköisyyden saamiseksi ovat kyseenalaisia johtuen testialustasta ja korkeudesta, mistä tikku heitetään tai pudotetaan?Muuten nykyiset tulitikut on surkeita; suorastaan hengenvaarallisia. Tulitikkutehtäviä tulisi välttää kaikin keinoin. Heh heh...
20. Jukkis11.2.2006 klo 13:55
No tässähän on tietysti ratkottu ideaalisen tilanteen mukainen todennäköisyys ihan puhtaalla matematiikalla. Se on välttämätön lähtökohta todellisen fysikaalisen tilanteen mallintamiselle ja simuloinnille. Näinhän tämä menee muulloinkin, kun todellisen maailman fysikaalisia ilmiöitä mallinnetaan ja simuloidaan.Homman fysikaalinen mallintaminen todellisia reunaehtoja käyttäen on tietysti ihan eri vaikeusluokan ongelma. Tuskin maksaa vaivaa moista paljoa miettiä, kun hyödyllisempääkin tekemistä löytyy.
Mutta tuo 50-50 -osumatarkkuudesta puhuminen sitä oikeaa höpöhöpöä on. Samalla logiikalla voi sitten vissiin päätellä, että lotossa saa yhdellä rivillä 7 oikein 50% todennäköisyydellä, koska "rivissä on joko 7 oikein taikka sitten ei".
21. jussi11.2.2006 klo 14:15
heitetäänkö tikkua rikkipuoli edellä jolloin painopiste muuttaa oleelliseti tikun laskeutumisnopeutta (vrt. jos Timo Karjalainen heittäisi moukaria kuula puoli käsissä)
22. Jukkis11.2.2006 klo 14:25
No eihän tuollaista kannata miettiä ideaalitilanteen analysoinnin yhteydessä. Tuo on osa tilanteen fysikaalista mallintamista, eikä silloin ole paljon järkeä poimia vain yhtä asiaa mietittäväksi. Mutta tietysti tuo vaikuttaa, samoin kuin muutenkin se, missä asennossa tikku irrotessaan kädestä.
23. Matti11.2.2006 klo 15:02
Jukkis, ei toimi pinta-alojen avulla, koska lasketaan segmenttien eikä sektoreiden pinta-aloja.Muutenkaan en ymmärrä, miksi pinta-alat antaisivat tässä oikean tuloksen. Kaaren pätkät vastaavat tikun suotuisia ja ei-suotuisia orientaatioita.
Yllätys minulle oli, että silti tulos osui niin lähelle oikeaa, ja oli samaa rakennetta, 1-a/pii.
24. Jukkis11.2.2006 klo 16:03
No eihän segmenttien pinta-alat mitenkään liity asiaan. Sektorien pinta-aloja lasketaan, jos nyt välttämättä jostakin syystä haluaa pinta-alat jotenkin tähän tuoda mukaan. Eihän Jaskakaan segmenteistä mitään puhunut, vaan sektoreista.Mutta tosiaan oikeastihan ne kaaret siinä on oleellisia, ja vielä oikeammin tikun asentoa kuvaava kulma. Siis jos tikun keskikohta osuu kohtaan x laudalle (missä x on välillä 0 ... 5 cm), niin sitten voidaan laskea, mitkä tikun kaikista mahdollisista asennoista (joka ilmaistaan kulmana) on sellaisia, joilla tikku menee lautojen rajan päälle.
25. Jaska11.2.2006 klo 17:16
Taisin selittää omaa logiikkaani turhankin mutkikkaaksi,joten yritän selventää. Oletetaan, että ympyrän keskipiste on kahden yhdensuuntaisen, ympyrän säteen pituuden etäisyydella toistaan olevan suoran välissä. Ympyrän kehällä ja suorilla on neljä leikkauspistettä. Niiden väliin jää siis neljä sektoria, joiden pinta-alat riippuvat keskuskulman asteluvusta, eli ympyrän keskipisteen etäisyydestä suoraan. Suorat muodostava kaksi ympyrän jännettä kahden keskuskolmion ja vastaavien segmenttien väliin. Vastaavasti "lautarajojen " väliin jäävätä sektorit voidaan jakaa keskuskolmioon ja segmenttiin. Nyt pitäisi vain tietää, määritetäänkö "tikku osuu rajan päälle - osuu rajojejn väliin" suhde segmenttien kaarten vai jänteiden suhteiden mukaan. Edellä selostamani tapa oli kaarien mukaan, ja silloinhan suhteeksi saadaan kulmien 60-90 astetta keskiarvon mukaan vastaus 0,4167, mikä taitaa olla väärin. Jänteiden mukaan laskeminen antaa eri tuloksen, onko se 0,3634?
26. Jukkis11.2.2006 klo 20:30
Minä ajattelin oman ratkaisuni toista kautta, mutta noinhan se menee myös, paitsi että vastaus ei tule suoraan ääriarvokulmien keskiarvona, vaan se pitää integroida, koska sektorin kulma ei muutu lineaarisesti 60 asteesta 90 asteeseen. Tai oikeastihan kulma muuttuu ympyrän vasemmassa reunassa 180 asteesta 0 asteeseen ja oikeassa reunassa 0 asteesta 180 asteesen, kun ympyrän keskipiste liukuu laudan vasemmasta reunasta oikeaan reunaan. Mutta vissiin ajattelit että symmetrian takia ympyrän liukumisen voi lopettaa laudan keskelle, jolloin sektorin kulma on 120 astetta ympyrän molemmissa reunoissa.
Ihan kiva integraali siihen tulee, arccos-funktioita pitää integroida. Mutta kyllä siitä lopputuloksena on tuo sama 1-2/pii. Ja siis nimenomaan ympyrän kaaria siinä tutkitaan, ei jänteitä. Tai siis oikeastihan siinä ei edes kaaria tutkita vaan kulmia, mutta ympyrässähän sektorin kaari ja kulma on käytännössä sama asia.
Eli tulos on edelleen 0.3634.
27. Lettu11.2.2006 klo 20:49
Välipalaksi kevennystehtävä:Hannu Hanhi tietää päivästä tulevan onnekkaan, jos hän onnistuu seuraavassa:
Rahanheitto tuottaa kruunun,
nopanheitolla tulee kuutonen ja
52 kortin pakasta tulee jokin ässä.
Millä todennäköisyydellä koe onnistuu?
28. Jaska12.2.2006 klo 00:05
Jukkis, päättelit aivan oikein minun päätelmäni virhettä myöten. Tosin tiesin, että pieleenhän tuo pelkällä aritmetiikalla menee. Lettu, koska tehtäväsi on kevennys, oikea todennäköisyys on 1. Näppäräsorminen Hannu näet "hieman" avittaa sattumaa.
29. Lettu12.2.2006 klo 11:26
Huumorilla ei saa leikkiä; ainakaan näin vakavalla asialla kuin matemaattinen todennäköisyys.No, se Matin alkuperäinen on kyllä minulle ylivoimaisen vaikea suortittaa, jos sen ratkaisemiseen tarvitaan aivoja.
Tuo 'Hannu Hanhi' -pähkinä taasen on ollut pääsykoetehtävänä insinööritieteitä opiskelemaan hakeville ja niin helppo, että oikein ihmetyttää miten se on sinne joutunut.
30. Lettu12.2.2006 klo 12:19
Hei, tässä linkki pähkinäpurijoille:http://www.tekniikkatalous.fi/list.te?dept=229&fir stIndex=1&lastIndex=10
31. Matti12.2.2006 klo 12:32
Jukkis, tosiaan, eihän Jaska segmenteistä puhunut vaan sektoreista.Itse ratkaisin asian hieman toisin, ja jouduin integroimaan vain kosinin. Piirsin suorakaiteen, jonka pohjalla juoksi asteikko 0-> 90 astetta eli pii/2 ja sivussa asteikko 0->1. Tikun ja lautojen leveyden skaalasin kakkoseksi. Laatikon jokainen piste vastaa nyt erästä tikun keskipisteen paikkaa ja erästä tikun kulmaa. Jaoin alueen käyrällä kahteen osaan, joista toisessa tikku osuu rajalle ja toisessa ei. Käyräksi osoittautui kosini. Sen integraalina sain alueen pinta-alan, ja jaoin sen koko laatikon pinta-alalla.
Sinun ratkaisusi oli oleellisesti sama, mutta laatikko oli nyt pystyssä (vaikket kenties mitään laatikkoa ajatellutkaan), ja kosini muuttui käänteisfunktioksi. Pinta-ala tietysti säilyi samana.
32. Lettu16.2.2006 klo 12:40
Onnittelut Matille, Jukkikselle ja Jaskalle tulitikkupähkinän oikeasta ratkaisusta.Vastaus 'Hannu Hanhi'-tehtävään on seuraava:
- kruunun tod.näk. = 1/2
- kuutosen tod.näk. = 1/6
- ässän tod.näk. = 4/52 = 1/13
Kaikkien kolmen samanaikaisen toteutumisen todennäköisyys on > 1/2 x 1/6 x 1/13 = 1/156 > ~ 0,0064
33. Jukkis16.2.2006 klo 20:12
Toinen samantyyppinen tulitikunheittelypulma:Jos 5 cm pitkä tikku heitetään lattialle, joka on päällystetty 5 x 5 cm -ruutukuviolla niin millä todennäköisyydellä tikku on kokonaisuudessaan jonkin ruudun sisällä? (Jolloin siis tikku ei kosketa mitään ruutujen välistä rajaviivaa.)
34. Jaska17.2.2006 klo 15:14
Mietiskelin tehtävää aamulla Oskun kanssa raikkaassa talvi-ilmassa maksimaalisin hapenottokyvyin aivoverenkiertoa ajatellen. Latauksen riittävyys on eri juttu. Muotoutui ratkaisuehdotus seuraavaksi: Piirretään ympyrä keskipisteenään neliön kulmapiste A ja säteenään tikku/2. Määritetään neliön keskipiste B ja ympyrän keskipisteesen yhtyvän neliön sivun keskipiste C ja piirretään ne yhdistävä jana BC. Piirretään jana AB. Janan AB ja ympyrän säteen leikkauspiste on D. Määritetään (annetaan laskentaohjelman tehtäväksi) ympyränkaaren CD sekä janojen BC ja DC rajoittaman alaan sisältyvien pisteiden lukumäärä tulokseen tarvittavan desimaalitarkkuuden mukaan. Piirretään (laskentaohjelmalla) ympyrät säteenään tikku/2 kukin piste ympyrän keskipisteenä. Lasketetaan neliön sivujen sisäpuolelle jäävän kahden sektorin pinta-ala kustakin ympyrästä ja lasketetaan pinta-alojen keskiarvo. Kerrotaan tulos neljällä ja jaetaan neliön pinta-alalla (25 neliösenttiä), saadaan todennäköisyys sille, että tikku ei osu neliöiden rajalle. Odotetaan Jukkiksen ilmoitusta ohjelmoitavalla laskimella saadusta oikeasta tuloksesta, ja missä Jaskan päättely meni pieleen.)-säteisen ympyrän keskipisteenä
35. Jaska17.2.2006 klo 15:21
Hännillä on jokin haamu?
36. Jukkis17.2.2006 klo 16:51
No enpä osaa sanoa Jaskan ratkaisumallista paljoa, kun tipuin kärryiltä saman tien. Eli en ollenkaan ymmärrä mitä tarkoittaa "Määritetään neliön keskipiste B ja ympyrän keskipisteesen yhtyvän neliön sivun keskipiste C ... ".Mutta en usko, että nytkään saa mitään tulosta minkään asioiden suorana keskiarvona. Integraaleja pitää laskea.
Tämähän on vähintään kertaluokkaa hankalampi juttu kuin se edellinen. En minä ole vielä keksinyt miten tarkan ratkaisun saisi. Mutta sata miljoonaa simuloitua tikunheittoa kertoo, että vastaus on suunnilleen hiukka yli 0,045.
37. Matti17.2.2006 klo 16:53
0,04507, siis hiukka yli, eli 1-3/pii.
38. Jaska17.2.2006 klo 19:17
Jukkis, taisin esittää asiani turhan epämääräisesti ja tarpeettoman koukeroisesti, siksi sorisen. Selväkielisemmin: Määritetään neliön keskipiste = neliön lävistäjien leikkauspiste. Saadaan neljä suorakulmaista kolmiota, joista kahdella on yhteinen kärkipiste neliön kulmapisteessä A, joka on siis myös ensin mainitun ympyrän keskipiste. Neliön sivun (jommankumman ko. kolmion kanta) keskipiste C on tietenkin ympyränkaaren ja sivun leikkauspiste. Mutta samantien voidaan piirtää samansäteiset ympyrät neliön jokaisesta kulmapisteestä, jolloin ympyränkaaret rajaavat alueen, johon tikun keskipisteen pitää osua, jotta ehto täyttyisi. Tikkua pitää kiertää eri pisteissä 360 astetta, jolloin saadaan ne sektorit, joissaehto täyttyy. Tässä vaiheessa on syytä käyttää koneellista apua, jos sitä on tarjolla ja kykyä ohjelmoida, eikä tunne tuota yksinkertaistakaavaa. Sillähän saadaan sama tulos kuin yllä esittämälläni, vai saadaanko?
39. Matti17.2.2006 klo 19:57
Mä tein sen näin.Skaalataan tikun ja neliön sivun pituudeksi 1. Jos tikku tekee pystyviivan kanssa kulman a, saadaan neliön keskelle suorakaide, jonka kanta on 1-sina ja korkeus 1-cosa. Jos tikun keskipiste osuu tähän suorakaiteeseen, ehto täyttyy. Integroidaan tämän suorakaiteen pinta-alan keskiarvo, kun a juoksee 0 -> pii/4.
40. Jaska17.2.2006 klo 23:00
Matti, en oikein pysty hahmottamaan ko. suorakaiteen koordinaattipisteitä neliön keskellä. Jos 1-sina on 1 ja 1-cosa 2, niin ko. suorakaiteen pinta-ala on 1x2 = 2, ja jos tikun keskipiste osuu mihin tahansa tämän suorakulmion sisällä olevaan pisteesee, ehto täyttyy? Ja mitä mieltä olet seuraavasta minun esittämääni kuvioon perustuvasta kaavasta, jossa neliön sivun ja tikun pituus olkoon myös 1. Jälkimmäisessä viestissä kuvaamani neljän ympyränkaaren rajaama tikun keskipistealue on pinta-alaltaan 1 - pii/4. Korotetaan tämä toiseen potenssiin (1 - pii/4)yläkakkonen (perr..en muistamiten sen saa näppäimistöltä) = 0,045.
41. Jaska17.2.2006 klo 23:07
No niin, tuossa hahmotusyrityksessäni tikku olikin 5.
42. Matti18.2.2006 klo 14:18
Jaska, jos 5(1-sina)=1 ja 5(1-cosa)=2, niin a on jotain 53 astetta. Jos tikun keskipiste osuu suorakaiteen sisään, ehto täyttyy, edellyttäen tietysti että kulma a on aina sama. Eri kulmalla a saadaan eri suorakaide. Näiden pinta-alasta integroidaan keskiarvo, kun kulma a muuttuu välillä 0, 45 astetta (tai, mikä antaa saman, 90 astetta).En oikein keksi mikä rooli neljän ympyränkaarineljänneksen rajaamalla alueella tehtävässä on. Ja miksi se pitäisi korottaa toiseen potenssiin. Mutta hauskaa on, että lopputulokset ovat lähes prikulleen samat, 0,04507 ja 0,04605.
Jukkis suoritti sata miljoonaa simulointia, ja sai 0,045 ja vähän yli. Hänen tuloksensa voi heittää vasta neljännessä määräävässä desimaalissa, siis siinä mikä mulla on 7.
43. Jaska18.2.2006 klo 16:21
Matti, minun mielestäni kyseiset kaarineljännekset rajaavat tikun kaksi keskipistealuetta: kaarien sisäpuolella (pinta-ala 0,7854 neliön pinta-alasta 1) ehto ei voi täyttyä, kaarien ulkopuolella (pinta-ala 0,2146) voi täyttyä. Jukkis voisi joutessaan (?) simuloida "lailliselle"alalle (riittäisi myös yhden muiden kanssa symmetrisen neljänneksen alalle) miljoona eri pistettä ja laskettaa ne keskpisteinä piirrettyjen ympyröitten neliön sisälle jäävien sektorialueitten pinta-alat. Tuloksen pitäisi olla n. 0,04605, jos olen oikeassa. Jos en ole, niin missä päättely menee pieleen? Tuosta potenssikaavasta: huomasin vain, että 0,2146 toiseen "taitaa" osua yksiin tuloksen kanssa, laskin päässä 0,21 ja 0,22 toiseen, ja kun haarukka oli sopiva tulokselle, niin aattelin, että se on siinä, sepä hauskaa! No kun se liippasikin vain läheltä, nini ei se enää ollut hauskaa...
44. Matti18.2.2006 klo 17:03
Jaska, nyt tajusin niiden kaarineljännesten roolin. Jos tikun keskipiste sijaitsee sektoreissa, ehto ei voi täyttyä. Jos niiden ulkopuolella, ehto täyttyy tai ei, kulmasta riippuen.Sen suorakaiteen nurkat sijaitsevat symmetrisesti ympyrän kaarilla, ja kun kulma muuttuu, nurkkapisteet liikkuvat kaaria pitkin.
Kun kulma on 0, suorakaide on vaakajana keskellä neliötä, pituus on 1 ja korkeus 0. Kun kulma kasvaa, suorakaide alkaa lyhentyä ja saada lisää korkeutta. Kun kulma on 45 astetta, suorakaide on neliö, ja kun kulma on 90 astetta, "suorakaide" on taas degeneroitunut janaksi, joka nyt on pystyssä.
Itse laskentaan tämä ei vaikuta, mutta havainnollistaa tilannetta mukavasti.
45. Jukkis18.2.2006 klo 20:44
Minä en tuota saanut ratkaistua, kun yritin turhan mutkikkaasti, enkä älynnyt tuota Matin suorakulmiohommaa. Yritin suunnilleen samalla tavalla kuin Jaska, eli yritin selvittää sektorien kulmien avulla. Ihan toivottomia integraaleja tuli vastaan.Matin tavallahan se menee, ja saman vastauksen sain eli 1-3/pii = 0,045070341.
100 miljoonan heiton simulointi antoi tuossa 0.04506453. Aika hyviä satunnaislukuja näköjään koneesta saa.
Hauska sattuma, että Jaskan tarjoama (1-pii/4)^2 on lukuarvona niin lähellä.
46. Jukkis12.4.2006 klo 09:21
Tämä ei ole varsinaisesti mikään pulma, vaan hauska (?) havainto.Juttu liittyy tietyllä tavalla erääseen tuolla ylempänä tässä säikeessä sanottuun asiaan, joten sopii herättämään tämän Talvipulma-otsikon vielä hetkeksi henkiin.
Tehtävä:
Kirjoita peräkkäin aakkoset alkaen J:stä ja päätyen I:hin (jolloin siis Ö:n jälkeen tulee A). Ruksaa yli kaikki pystyakselin suhteen peilikuvasymmetriset kirjaimet. (Esim. A ja I ovat peilikuvasymmetrisiä, esim. N ja S ei ole.) Jäljelle jäävät ei-peilikuvasymmetriset kirjaimet esiintyvät ryhminä. Kirjoita paperille peräkkäin kunkin tällaisen kirjainryhmän kirjainten määrä. Laita pilkku ensimmäisen numeron perään. Mitä sait?
47. iso S12.4.2006 klo 09:43
Päänsäryn ja piin likiarvon likiarvon (katkaistu, ei pyöristetty oikein.)
48. Jukkis12.4.2006 klo 09:45
Äläpä väitä, onhan se pyöristetty oikein. Paranna päänsärky ja tutki sitten uudestaan.
KOMMENTOI