KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 19

10136. Lukujono 19

Matti19.7.2019 klo 23:27
Aloitetaan lukujono 19 kevyellä geometrisella harjoituksella. Mikä on pienin neliö, johon mahtuu a x b -suorakaide? Siis suorakaiteen sivut ovat a ja b.
2. Jaska19.7.2019 klo 23:59
Joo ei raskas. Pitemmän sivun neliö.
3. Matti20.7.2019 klo 00:05
Ja kun nyt vauhtiin päästiin niin kysytään vielä, että mikä on pienin tasasivuinen kolmio, johon mahtuu tasakylkinen kolmio, kanta a ja korkeus b? Jaskan ratkaisu edelliseen on vajavainen.
4. Jaska20.7.2019 klo 00:06
Tietysti vain, jos sivut ovat yhdensuuntaiset. Jos ei, niin on raskaampi. Mietitään myöhemmin.
5. Jaska20.7.2019 klo 16:46
Kolmiotehtävälle järkeilin lenkillä kaavan, joka antaa tasasivuisen sivun pituudeksi noin 1,1547b.
6. Matti20.7.2019 klo 20:59
Jaskan tämäkin ratkaisu on vajavainen.
7. Jukkis20.7.2019 klo 21:20
Suorakaiteen pinta-ala on ab. Leikkelemällä suorakulmio sopivasti palasiksi se saadaan mahtumaan neliöön, jonka pinta-ala on ab eli jonka sivu on sqrt(ab).
8. ++juh20.7.2019 klo 22:00
Pienimmän neliön, johon mahtuu a x b -suorakaide, sivu on

min( max( a ; b ) ; (a + b) / sqrt(2) )
9. Jaska21.7.2019 klo 00:31
Matti, pinta-alaako kaipasit?
10. Jaska21.7.2019 klo 00:48
Ai joo, onhan se vajavainen. Ei tuo ilmoittamani päde, jos tasakylkisen kaksi kulmaa on alle 60 astetta ja yksi yli 90.
11. Jaska21.7.2019 klo 00:52
...jolloin käsittääkseni tasakylkisen kanta = tasasivuisen sivu. Nyt panen maata. En siis laita:)
12. Matti21.7.2019 klo 20:59
Jaska, myöskään ei päde, jos kanta on kovin lyhyt korkeuteen verrattuna. Tuossa yllä kai tarkoitit 1,1547h. Neliölle pinta-ala tai sivun pituus, sama se.
13. Matti21.7.2019 klo 21:26
++juhin hieman kryptinen muotoilu on aivan oikein. Avaan vähän.

Oletetaan, että a>=b. Toisessa ääripäässä b=0 ja suorakaide kutistuu janaksi. Pienin janan peittämä neliö on se, jonka diagonaali tämä jana on. Pint-ala on (a**2)/2. Toisessa ääripäässä a=b, ja suorakaide on neliö, ja se peittää itse itsensä. Pinta-ala on a**2.

Kun b=(sqrt2 - 1)a, ollaan taitekohdassa, ja on yhdentekevää, onko suorakaide neliön sivun vai sen diagonaalin suuntainen. Pinta-ala on a**2. Palataan kolmiotapaukseen myöhemmin.
14. Jaska.21.7.2019 klo 22:45
Matti, korkeutta tarkoitin, mutta onhan se myös b, eli ilmoittamasi tasakylkisen korkeus. Laskin siis vain tapauksen, jossa tasakylkisen kärkikulma on alle 60 astetta (10. yli 90 astetta p.o. yli 60 astetta.) Siihenhän ei kosinifunktiota tarvita. Kun em. kärkikulma on yli 60 astetta, tarkoitetun pienimmän tasasivuisen kanta on samanpituinen kuin tasakylkisen kanta, oletan siis.
15. Jaska21.7.2019 klo 22:52
Tasasivuisen kanta eli sen sivu.
16. Matti26.7.2019 klo 23:07
Olkoon peittävän tasasivuisen kolmion sivu s. Kun tasakylkisen kolmion kanta on nolla, sen peittävä pienin tasas. kolmio on se, jonka sivu on tasak. kolmion kylki. Pinta-ala on (s^2*sqrt3)/4. Kun kanta kasvaa, toinen kylki kulkee edelleen tasas. kolmion sivua pitkin, ja sen kärki on kiinni tasas. kolmion kärjessä.

Kun tasak. kolmion kärkikulma on 20°, siis kolmasosa tasas. kolmion kulmasta, ollaan taitekohdassa. On yhdentekevää, sijoitetaanko tasas. kolmio näin, vai symmetrisesti siten, että sen huippu jakaa tasas. kolmion huipun kolmeen yhtäsuureen kulmaan, kukin 20°. Pinta-ala on h^2(tan10°). Kun tasak. kolmion kärkikulma edelleen kasvaa, jatketaan symmetrisellä sijoittelulla, kunnes kärkikulma on 60°. Pinta-ala on silloin (s^2*sqrt3)4.

Kun kärkikulma edelleen kasvaa, tasak. kolmion kärki irtoaa tasas. kolmion kärjestä, ja sen kanta on sama kuin peittävän kolmion sivu. Pinta-ala on (s^2*sqrt3)/4. Lopulta, kun kärkikulma on 180°, päädytään lähtöasetelmaan. Degeneroitunut tasak. kolmio on peittävän kolmion sivu.

Aika tylsä on tällaista verbaalia kuvausta seurata. Pitäisi piirtää kuvia.
17. Jukkis19.3.2020 klo 16:59
0, 1, 2, 5, 22, 181, 5814, 1488565, ?

Aika haka on se, joka tämän ilman lisävinkkiä hoksaa.
18. Jukkis19.3.2020 klo 17:01
No pöh. Eipäs välttämättä olekaan haka, kun löytyy näköjään OEIS:stä. Hakuus jää kiinni hoksaamisväittäjän rehellisyydestä.
19. Jaska19.3.2020 klo 20:40
Hep. Valitettavasti Hesari torppasi mahdollisuuteni aika haka titteliin, sillä olin tavallaan luntannut siitä ratkaisevan vinkin jo etukäteen aamulla. Jäi siis epävarmuus, olisinko muuten onnistunut ennemmin tai todennäköisemmin myöhemmin.
20. Jaska19.3.2020 klo 21:03
Seuraava termi on 12 194 330 294.
21. Jukkis19.3.2020 klo 21:04
Juu, jos joku olisi tuon laittanut joskus aiemmin, niin ihan varma olen, että en olisi keksinyt, mistä on kyse. Paitsi huomaamalla että löytyy OEIS:stä. Ennen Hesarin artikkelia en ollut koskaan törmännyt tähän juttuun. Kaikkea jännää sitä on.
22. Matti19.3.2020 klo 23:51
Lunttasin heti. Rabbit sequence in decimals. Löytyi mielenkiintoista tarinaa Fibonacci-luvuista. Ikinä en olisi jonolle jatkoa itse keksinyt. Mistä lie, Jukkis, jonoon törmäsit?
23. Matti19.3.2020 klo 23:53
Siis, miten tää liittyy Hesariin, jonka joka aamu luen?
24. eol20.3.2020 klo 00:28
Nuo luvut saadaan, kun tulkitaan torstain HS:n sivun B8 vasemman alakulman taulukon merkkijonot binaariluvuiksi, jotka sitten esitetään desimaalimuodossa. Taulukon merkkijonot F(n) on generoitu seuraavasti:

F(1) = b
F(2) = a
F(n) = F(n-1)F(n-2) kun n > 2

Siten esimerkiksi F(5) = abaab, joka binaariluvuksi tulkittuna on 10110 eli desimaalilukuna 22.
25. Matti20.3.2020 klo 00:50
eol, ok, noinhan se meneekin. Kiitos.
26. Jaska20.3.2020 klo 11:34
Jonon muodostus eksponentiaalisesti 1:stä alkaen:

2^0 = 1
2^1*1 + 0 = 2
2^1*2 + 1 = 5
2^2*5 + 2 = 22
2^3*22 + 5 = 181
2^5*181 + 22 = 5814
2^8*5814 + 181 = 1488525
2^13*1488525 + 5814 = 12194330291
jne eksponenttien muodostaessa fibonaccin jonon.
27. Jaska28.4.2020 klo 13:33
Huu, huu, huhtikuukin jononsa väärti lie.

36, 144, 1764, 2304, 5184, 7056, 8100, 30276, 41606, 69696, 93636, 138384, 166464, 207936, 224676, 298116, 352836, 360000...

Määritelmä?
28. Jukkis28.4.2020 klo 15:11
Pitänee olla tuossa 41616, ei 41606.
29. Jaska28.4.2020 klo 16:54
Tietysti, kiitos. Oli taas kiire lenkille (tänään 7 km).
30. Jaska30.4.2020 klo 11:42
Kohtuullistetaan mahd. visaista tehtävää. Määrittelyä helpottaa, jos jakaa termit kahdella.

Testataanpa, olisiko seuraava helpompi, kenties jopa pehmis.

13, 17, 25, 28, 32, 38, 46, ?
31. Matti30.4.2020 klo 23:20
Jaska, mikä on 27n ratkaisu? Jos ottaa neliöjuuren ja jakaa kuudella, saa paljon siistimmän jonon: 1 2 7 8 ... 99 100. Mutta jonon rakennetta en silti hoksaa.
32. Jukkis1.5.2020 klo 10:00
Matti, löytyy OEIS:stä.
33. Matti1.5.2020 klo 15:46
No enpä olisi ikinä keksinyt.
34. Jaska1.5.2020 klo 17:25
Eilisestä kannattaa etsiä käänteistä elementtiä.
35. Jaska1.5.2020 klo 18:31
...eli ei ynnätä kahta alkulukua.
36. Jaska3.5.2020 klo 17:56
Auts, korjaan sorinan kera. Kyllä ynnätään kaksi alkulukua, mutta vain yhden ainoan kerran.
37. Jaska4.5.2020 klo 10:41
25, 27, 33, 35, 49, 51, 63, 65, 75, 77, 91, 93, ?
38. Jaska5.5.2020 klo 19:54
Toivottavasti kukaan ei viitsinyt syventyä kahteen edelliseen. Ne ovatkin vähemmän kiinnostavia, ja lisäksi ekasta puuttuu 43 ja tokasta 83, 85. Kyse on kokonaisluvuista, joiden summa sekä pienemmän että suuremman viereisen luvun kanssa ynnättynä ei ole alkuluku laskettaessa kahden peräkkäisen luvun summia kokonaislukujen jonosta 1, 2, 3.... Jonoon siis kuuluu myös 43, koska 42 + 43 = 85 ja 43 + 44 = 87. Jonoon kuuluvia lukuja on välillä 1-50 ehkä yllättävänkin vähäinen määrä 9 kpl (18%) ja välillä 1-100 25 kpl.
39. Jaska18.5.2020 klo 11:16
Tietyn jonoryhmän tietyllä tavalla muutettujen jonojen rakennemääritys haussa. Kolmannen jonon (viheettömät!) 10 ekaa termiä:

1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109

Mitkä ovat neljännen jonon 10 ekaa termiä?
40. Jukkis18.5.2020 klo 15:19
"Tietyn jonoryhmän tietyllä tavalla muutettujen jonojen rakennemääritys"

Että mitä ihmettä nyt taas?
41. Jaska18.5.2020 klo 17:40
Myönnetään hämäräperäisyys, mutta eihän siinä mitään ihmeellistä (enää) ole.

Kyseisistä alkuperäisistä jonoista käytetään tavallisesti termiä rivit. Ne ovat kaikille säikeeläisille alkupäästään tuttuja. Olen tehnyt niille operaation, jonka tuloksena alkuperäisen kolmannen rivin alku yllä. Kaikissa muissakin samoin operoiduissa jonoissa on vain parittomia lukuja.
42. Jukkis19.5.2020 klo 10:47
"...alkuperäisistä jonoista käytetään tavallisesti termiä rivit".

En taas tajua tästä mitään. Mistä lukujonoista käytetään ja kuka "tavallisesti käyttää" erityisesti termiä "rivit"? Syntyyhän siinä tietysti tekstiä rivi tai useampia, kun lukujonon lukuja luetellaan. Mutta entäs sitten?
43. Jaska19.5.2020 klo 11:31
Tarkoitin, että jokin nimikkeellä "rivi" tavallisesti mainittu lukujoukko voi olla täällä hyvinkin "jono" ketjun nimikkeen mukaan. Tämän viestissä 39. esittämäni jonon alkupään lähteen saat selville menneitä muistelemalla. Vaikkapa 11.3. 2020 20.55.
44. Jukkis19.5.2020 klo 13:08
Näköjään tuohon aikaa kirjoitin "Visa - 3" -säikeeseen tekstin, jossa on mm. linkki tähän "modifioituun Pascalin kolmioon":
https://aijaa.com/vF5LuP

Siellähän on tosiaan rivejä, ylimmäisellä rivillä 1, toisella 1 1, kolmannella 1 5 5 1 jne. Mutta enpä tuosta sen enmpää tähän yhteyteen irti saa.

Toinen samaan aikaan kirjoitettu viesti on TVJ:ltä säikeessä "Mukavia-pieniä-asioita-ketju 3", siinä todetaan että "Kokoomus ei ole mukana Perussuomalaisten välikysymyksessä ja siksi Liike Nytin Harkimo joutui seisomaan Halla-ahon vieressä Orpona". Että tästäkö sittenkin pitää lähteä tätä jono/rivi -hommaa miettimään?
45. Jukkis19.5.2020 klo 13:10
Oho, meni kolmion rivit sekaisin.
46. ++juh19.5.2020 klo 13:24
39.

Tuossa jonossahan peräkkäisten termien erotukset ovat 4, 6, 8, 10, ... Koska se on kolmas jono, niin toisessa jonossa erotukset voisivat alkaa kakkosella ja siis olla 2, 4, 6, ... ja ensimmäisessä jonossa vastaavasti 0, 2, 4... Neljäs jono muodostuisi samaan tapaan erotuksilla 6, 8, 10, ... eli

1, 7, 15, 25, 37, 51, 67, 85, 105, 127,  ...

Ei varmaankaan ole haettu jono.
47. Jaska19.5.2020 klo 16:39
Tietyllä tavalla entratusta Pascalin kolmiosta on siis kyse sekä Jukkiksella että minulla. Huippuna on minullakin 1, ja myös seuraavat vaakarivit 1 3 1 ja 1 5 5 1 ovat samat. Seuraavasta vaakarivistä alkaen vaakarivimme ovat erilaiset. Neljännen vaakarivin alku 1 7 on kyllä sama eli oikein ++juhilla, sitten tiemme erkanevat. Minulla on siis eri metodi rakentaa "Jascal" eli pelkkiä parittomia lukuja sisältävä kolmio. Kaava on yksinkertainen, ja sen kyllä hoksaa, kun paneutuu syvällisemmin Pascalin ja Jascalin vertailuun.
48. eol20.5.2020 klo 11:26
Tarjoan Jaskalle neljänneksi jonoksi:

1, 7, 19, 39, 69, 111, 167, 239, 329, 439, ...
49. Jaska20.5.2020 klo 13:59
Tarjous hyväksytty. Jätetään vielä muille viidennen haku.
50. Matti20.5.2020 klo 23:03
Jaskan kolmas jono on (n+2)(n+1) - 1, ja eolin neljäs (n+3)(n+2)(n+1)/3 - 3, kun n = 0, 1, 2, ... Vaan entäs sitten? Taidan olla hakoteillä.
51. Jaska20.5.2020 klo 23:30
Matti, kyllä olet liian mutkikkaalla tiellä. Ratkaisun kaavassa on vain neljä merkkiä sille asialle, mitä pitää tehdä Pascalille. Lisävinkki. Kaikki haettavat jonot ovat äärettömiä.
52. Matti21.5.2020 klo 22:41
Tarjoan sitten vitosjonoksi 1, 9, 37, 93, 187, 331, 539, 827, 1213, 1717, ...
53. Jaska21.5.2020 klo 23:05
1, 9 oikein, sitten etenit liian pitkin harppauksin. Kahden ekan jonon alut helpottanevat.

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1...
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...
54. Matti21.5.2020 klo 23:50
Ehdotuksellenikin löytyy perustelu. Mutta siis eri. Luovutan.
55. Jaska22.5.2020 klo 09:42
Matti, minä puolestani en keksi, minkä yhteyden Pascaliin keksit 37:stä alkaen. Ehkä tehtävä on liian vaikea. Paljastan ratkaisukaavan: 2n - 1.
56. Matti22.5.2020 klo 13:45
Aika kaukana harhailin aavalla merellä. Pascalin kolmio olisi toiminut majakkana.

Yleinen lauseke on siis: n-jonon i:s termi = 2((n+i-2) yli (i-1)) - 1.

(37:ssä, 4. 5. klo 10:41 en ollut vielä mukana lainkaan.)

(Pitäisi nyt jo muistaa, että jos Jaska kysyy lukujonoa, melkein aina on kyse alkuluvuista tai Pascalin kolmiosta.)
57. Jaska22.5.2020 klo 17:24
Pitihän yhteyden Pascaliin olla selviö Jukkiksen viestin 44. jälkeen. Viestissä 47. mainitsin lisäksi vinkkinä vaakarivin neljä kertaa tarkoituksella muistuttaa, että onhan kolmiossa myös pienistä luvuista vinottain alaspäin lähteviä rivejä eli niitä "syvällisesti" vertailtavia. Mutta ei murehdita sitä sen enempää. Palaan asiaan.
58. Jaska23.5.2020 klo 13:12
Matti oli oikeassa, alkuluvut kiinnostavat tässäkin. Pascalissa ne esiintyvät ainoastaan peräkkäisten kokonaislukujen diagonaaliriveissä. Niiden keskinäiset etäisyydet siis vaihtelevat näennäisesti vailla säännönmukaisuutta.

Jascalissa alkuluvut esiintyvät myös ensimmäisten ja toisten diagonaalirivien sisäpuolella sekä yksittäin että peräkkäin sarjoina. Peräkkäisiä esiintyy sekä vaakariveillä että diagonaaliriveillä. Esim. viestin 39. diagonaalirivissä on neljä peräkkäistä kahdesti. Kymmenensissä d-riveissä on alussa kuusi peräkkäistä: 1, 19, 109, 439, 1429, 4003, 10009...

Studeeraamani kolmion vaakariveillä esiintyy pitempiäkin putkia lukujen symmetristen tuplausten myötä:

1, 17, 71, 167, 251, 251, 167, 71, 17, 1
1, 19, 89, 239, 419, 503, 419, 239, 89, 19, 1

Noissa siis kaikki ykkösten sisäpuoliset ovat alkulukuja, kuten lähellä huippua olevat lyhkäisissä 1, 3, 1 - 1, 5, 5, 1 - 1, 7, 11, 7, 1.

Vain yksi alkuluku on vaakarivissä
1, 15, 55, 111, 139, 111, 55, 15, 1

Yhtään tapausta ilman ainuttakaan alkulukua vaakarivissä ei ole viimeiseen tsekkaamaani mennessä. Alkuluvuissa asteriski:
1, 43*, 461*, 3079*, 14629*, 52667*, 149225, 341067, 639479, 994923, 1293847, 1411727*, symmetria

Lopetin tähän, kun 7-merkkiset eivät tahdo kunnolla mahtua rakosiinsa. Ohjelmointitaitoisille on siis tarjolla töitä kysymysten ratkomisekisi, kuten mikä on ensimmäinen alkuluvuton vaakarivi (olettamuksella, että sellainen on), onko alkuluvuttomia diagonaalirivejä (varmantuntuinen olettamus - ei) löytyykö pitempiä putkia kuin yllä esitetyt, löytyykö vielä vaakarivejä, joi9ssa kaikki alkulukuja ykkösten välissä.

Jascalin rakentelu on siis lähes yhtä simppeliä kuin Pacalinkin, kahden peräkkäisen luvun summa + 1 seuraavalle vaakariville ko. lukujen väliin.

Jukkiksen kolmiosta (Jukscal?), jossa luku = yläpuolella olevan kolmion kolmen luvun summa, on tietysti myös hyvä tutkimuskohde.
59. Jaska2.7.2020 klo 13:53
Seuraava arvattavasti vaikea, joten määritelmän voi myös arvata.

5, 17, 41, 197, 281, 7699, 8893, 22039, 24133, 25237...
60. Jaska4.7.2020 klo 18:02
Edellinen on osajono seuraavasta:

5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160, 197...
61. eol4.7.2020 klo 20:06
Jälkimmäisen jonon määritelmäksi näyttäisi sopivan vaikkapa seuraava: n:s jäsen on n+1 ensimmäisen alkuluvun summa. Eli esimerksi jonon 4. jäsen on 5 ensimmäisen alkuluvun summa eli 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28.

Alkuperäinen jono saataisiin sitten ilmeisesti (eli en suorittanut tarkistusta loppuun asti!) poimimalla jälkimmäisestä jonosta mukaan pelkät alkuluvut.

Tähän taitaa kuitenkin olla vielä jotakin muutakin (koira?) haudattuna. Tämä mahdollinen puuttuva palanen saattaisi selittää sen, miksi kummankin jonon alusta puuttuu 2. Nimittäin jos jälkimmäisen jonon alkuun lisätään 2, niin syntyneen uuden jonon n:s jäsen on (yksinkertaisesti!) n ensimmäisen alkuluvun summa.
62. Jaska5.7.2020 klo 10:52
Ei ole piski multiin päätynyt. En vain miellä yhtä yhteenlaskettavaa summaksi, vaikka sen niinkin voi tulkita. Joten teen siitä summan (joskaan ei kahden alkuluvun) alkamalla jonon 0, 2, 5, 10, 17...

59:n määrityksen vaikeus johtuu siis alkukujen tiheydestä, eli yllättävästä harvuudesta 281:n jälkeen. Kun jono aloitetaan 5:stä, frekvenssi on selvästi suurempi ainakin jonon alkupäässä. Samoin laskettaessa summia kolmen, viiden jne. peräkkäisen jaksoissa.
63. Jaska12.7.2020 klo 12:46
Todista, että seuraavissa kahdessa äärettömässä jonossa ei ole lukuja, jotka ovat jaollisia luvulla 17.

-1, 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, 305, 341, 379, 419,...

1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211, 241, 273, 307, 343, 381, 421,...
64. eol12.7.2020 klo 22:05
Olkoon ensimmäinen jono a(n) ja toinen jono b(n). Heti nähdään, että b(n) = a(n) + 2. Lisäksi on helppo havaita, että aidosti kasvavan jonon a(n) perättäisten jäsenten erotusten jono on 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... . Tämän perusteella voidaan päätellä, että a(n) on muotoa

a(n) = n^2 + Pn + Q, missä n = 1, 2, 3, ...

sillä silloin havaittu ehto a(n+1) - a(n) = 2n toteutuu asettamalla P = -1:

a(n+1) - a(n)
= (n+1)^2 + P(n+1) + Q - n^2 - Pn - Q
= 2n + 1 + P
= 2n

Alkuarvon a(1) = 1 + P + Q = -1 perusteella on asetettava myös Q = -1. Siten saatiin

a(n) = n^2 - n - 1 = n(n-1) - 1
b(n) = a(n) + 2 = n(n-1) + 1

Tarkastellaan sitten seuraavan kolmisarakkeisen taulukon avulla, mitä eri arvoja kahden perättäisen kokonaisluvun tulo modulo 17 voi saada:

k mod 17 .. (k+1) mod 17 .. k(k+1) mod 17

0 ................ 1 ................ 0
1 ................ 2 ................ 2
2 ................ 3 ................ 6
3 ................ 4 ................ 12
4 ................ 5 ................ 20 mod 17 = 3
5 ................ 6 ................ 30 mod 17 = 13
6 ................ 7 ................ 42 mod 17 = 8
7 ................ 8 ................ 56 mod 17 = 5
8 ................ 9 ................ 72 mod 17 = 4
9 ................ 10 ............... 90 mod 17 = 5
10 ............... 11 ............... 110 mod 17 = 8
11 ............... 12 ............... 132 mod 17 = 13
12 ............... 13 ............... 156 mod 17 = 3
13 ............... 14 ............... 182 mod 17 = 12
14 ............... 15 ............... 210 mod 17 = 6
15 ............... 16 ............... 240 mod 17 = 2
16 ............... 0 ................ 0

Koska taulukon kolmannesta sarakkeesta ei löydy lukua 1, niin mikään luvuista a(n) ei ole jaollinen 17:llä, ja koska tuosta samasta sarakkeesta ei löydy lukua 16, niin myöskään mikään luvuista b(n) ei ole jaollinen 17:llä.
65. Jaska12.7.2020 klo 23:22
eolilta perinpohjainen todistus. LIsätään vielä, että kolmas sarake = jonojen vastinparien väliluku, eli 240:n jälkeen seuraa 272 = 16*17, josta alkaen siis toinen sykli 0, 2, 6, 12, 3, 13 ....jne.
66. Jaska13.7.2020 klo 23:28
Jatkettaessa eilisiä jonoja 200. termiin saakka löytyvät 17:n jälkeen samaan löytymättömyyskastiin kuuluvat luvut 23, 47, 53, 83, 107, 113, 137, 163, 167, 173, 197.

Nyt on helppoa päätellä, miten jono tuon perusteella jatkuu. Mitkä ovat 10 seuraavaa termiä? Todistamisesta paljon lisäpisteitä.
67. Jaska21.7.2020 klo 22:08
Plörinäksi meni. Oikea kysymys olisi, mikä ei kuulu joukkoon. 163 on sinne jotenkin typerästi lipsahtanut. Tarkoitetut alkutekijät ovat kaikki muotoa 6n - 1. Jaetaan ne kahteen jonoon:

17, 47, 107, 137, 167, 197, 227, 257, 317, 347, 347, 467, ...
23, 53, 53, 83, 113, 173, 233, 263, 293, 353, 383, 443, ...

Kummassakin jonossa etäisyydet ovat jaollisia 30:lla. Jaolliset numeroihin 7 ja 3 päättyvät luvut 77, 287, 377, 407, 437 - 143, 203, 323, 413, 473 jne eivät myöskään ole vertailujonon tekijöitä, koska siinä kaikkien termien viimeinen numero on joko 1, 5 tai 9.

Seuraava jono on vaihteeksi virheetön.

17, 31, 59, 101, 157, 227, 311, 409, 521, 647, 787, 941, 1109, 1291, 1487, 1697, 1921,...

Mitä on tehty jonon tunnetulle "esi-isälle"?
68. Matti24.7.2020 klo 00:09
Jono on polynomin 7n^2-7n+17 arvot n:n arvoilla 1, 2, 3, ... Jos termeistä vähennetään 17 ja jaetaan 7:llä, saadaan tulot n(n-1). Mutta mitä ajetaan takaa, missä on pihvi, se ei valkene.
69. Jaska24.7.2020 klo 11:18
"Esi-isällä" on viisi niin ikään onnekasta sisarusta.
70. Jaska25.7.2020 klo 17:42
Kyseisen kuusikon ensimmäiset termit tunnetaan OEIS-jonona, joka muistaakseni oli myös ++juhin tehtävän aiheena täällä takavuosina.
71. Jaska26.7.2020 klo 22:53
Korjaan, se oli Olavi Kivalo, jonka aiheena oli täällä v. 2012 ko. kuusikko 2, 3, 5, 11, 17, 41. Mitä on siis tehty alkuluvulla 17 alkavalle jonolle viestin 67. lopussa olevassa jonossa?
72. eol28.7.2020 klo 00:56
Tässä vaiheessa oli aika helppo selvittää, että kyseisen kuusikon muodostavat ns. Eulerin onnenluvut (OEIS A014556, Euler's lucky numbers) eli kaikki sellaiset kokonaisluvut n joille m^2 - m + n on alkuluku aina kun m on välillä 1 ... n-1 (tai yhtäpitävästi välillä 0 ... n-1). Kuusikon luvut ovat 2, 3, 5, 11, 17, 41.

Jonon a(k) = k^2 - k + 17 = k(k-1) + 17, missä k = 1, 2, 3, ..., jäsenistä 16 ensimmäistä ovat siis alkulukuja. Sen sijaan 17. jäsen eli 17^2 ei ole.

Matti totesi, että Jaska on viestin 67 [21.7. klo 22:08] lopussa listannut jonon b(k) = 7k^2 - 7k + 17 = 7k(k-1) + 17, missä k = 1, 2, 3, ..., ensimmäiset jäsenet, itse asiassa 17 ensimmäistä jäsentä. Niitä tutkimalla havaitaan, että niistäkin kaikki 16 ensimmäistä ovat alkulukuja. Sen sijaan 17. jäsen eli 17 * (7 * 16 + 1) = 17 * 113 = 1921 ei tässäkään tapauksessa ole.
73. Jaska28.7.2020 klo 15:03
eolin selvitys on faktaa, mutta se ei vastaa itse kysymykseen. Haettu vastaus kuuluu: Eulerin jonon kahden peräkkäisen termin erotukset on seitsenkertaistettu. Matin niin ikään oikea huomio uudesta jonosta "jaetaan 7:llä" on siis pihvin kääntöpuoli.

Myös 2-, 3-, 5- ja 11-alkuiset Eulerin jonot voidaan vastaavasti laventaa. Entä 41-alkuinen? Jos se onnistuu, toka termi on suurempi kuin 347. En jatkanut manuaalista kokeilua pitemmälle.
74. Jaska17.9.2020 klo 22:31
Elokuu jäi jonotta, olkoon syyskuinen kahden kuukauden väärti. Olen melko varma, ettei se ole OEIS:ssä, joten en tsekannut asiaa. Tämän (minua) kiinnostavan jonon jatko ei ole vaikea, mutta mikä on villakoiran ydin? Ilman erään hyvinkin triviaalin, ketjussakin esillä olleen aiheen jonkinmoista tuttuutta ratkaisu lienee mahdoton. Vihje: tehtävällä on primitiivinen lähtökohta.

7, 23, 47, 79, 119, 167, 233, 287, 359, 439, 527...
75. Jaska17.9.2020 klo 23:51
Huoh, pitäisi ottaa oppia entisistä. Siis check. Pitää tietysti olla 223, ei 233.
76. Matti18.9.2020 klo 01:40
Jos Jaska antaa lukujonon, kyse on joko Pascalin kolmiosta tai alkuluvuista. Nyt veikkaan jälkimmäisiä. Jonohan on polynomin 4n^2+4n-1 arvoja peräkkäisillä kokonaislukuarvoilla 1, 2, 3 jne. oeis tuntee jonon kyllä, ja alkulukuihin oli vahvat viittaukset. En osannut niitä kyllä sen pitemmälle seurata.
77. Jukkis18.9.2020 klo 08:54
No eihän esim. 119 ja 287 ole alkulukuja. Lieneekö Jaskan villakoiralla joku muu ydin kuin OEIS:ssä kerrottu?
78. Jaska18.9.2020 klo 12:02
Olisi pitänyt pitänyt tsekata tai muotoilla: jos jono on OEIS:ssä, sieltä ei kuitenkaan todennäköisesti löydy villakoiran ydintä.

Tehtävä on löytää jotain, joka tuottaa ko. jonon. Siihen tarvitaan kahden yhteenlaskettavan summia lukujoukosta, joka on englannissa primitive. Perusjoukko on ehkä parempi käännös kuin eilen käyttämäni primitiivinen. Tehtävään liittyvä perusjoukko on yksi kolmesta. Ja Matti on oikeassa, ytimen ytimessä ovat alkuluvut.
79. Jaska19.9.2020 klo 10:53
Avautuisiko tänäinen jatkovihje: 19.9.2020. Eilinen ja huominen eivät sovi samaan muottiin.

re-Captcha widget herjasi taas. Ei muuta kuin odotellaan jokunen minuutti.
80. eol19.9.2020 klo 12:19
Jaskan antamien vahvojen vihjeiden perusteella arvaan, että seuraava määritelmä liittyy asiaan: Joukon positiivisia kokonaislukuja sanotaan olevan "primitiivinen" (engl. primitive), jos mikään sen jäsenistä ei ole jaollinen millään toisella sen jäsenistä. Siten {18, 9, 2020} ei ole primitiivinen, sillä 18 = 9*2; myöskään {20, 9, 2020} ei primitiivinen, sillä 2020 = 20*101; mutta {19, 9, 2020} on primitiivinen. Primitiivisen joukon luvuilla voi tietysti olla yhteisiä alkutekijöitä: esimerkiksi {10, 12, 15} on primitiivinen.
81. Jaska19.9.2020 klo 17:41
eol huomasi yhteisten alkutekijöiden puuttumisen tänäisestä päivämäärästä. Seuraavaksi mietintään, mistä löytyisi muita ehdon täyttäviä kolmikkoja.
82. eol19.9.2020 klo 19:38
No, ei muuta kuin lisää määritelmiä peliin - jospa nämä seuraavat kaksi liittyisivät asiaan vieläkin tiiviimmin kuin tuo edellinen:

Positiivisten kokonaislukujen kolmikko (a, b, c) on "Pythagoraan kolmikko" (engl. Pythagorean triple), jos a^2 + b^2 = c^2. Helposti nähdään, että jos (a, b, c) on Pythagoraan kolmikko, niin niin on myös (ka, kb, kc) millä tahansa positiivisella kokonaisluvulla k.

Pythagoraan kolmikon sanotaan olevan "primitiivinen" (engl. primitive), jos sen kolmella jäsenellä ei ole yhtään yhteistä alkutekijää. Helposti (vaikkei ehkä aivan yhtä helposti kuin edellä!) nähdään, että jos Pythagoraan kolmikko on primitiivinen, niin edes millään sen kahdella jäsenellä ei voi olla yhtään yhteistä alkutekijää.
83. Jaska19.9.2020 klo 23:10
Pythagoras selvisi. Tästä on hyvä jatkaa.
84. eol20.9.2020 klo 02:52
Jaskan jono näyttäisi koostuvan kaikista sellaisista luvuista k, jotka voidaan esittää muodossa k = a+b siten että (a, b, a+2) on primitiivinen Pythagoraan kolmikko. Esimerkiksi 3^2 + 4^2 = 5^2, 15^2 + 8^2 = 17^2 ja 35^2 + 12^2 = 37^2. Eksplisiittiset lausekkeet: a(n) = 4n^2 - 1 ja b(n) = 4n kaikille positiivisille kokonaisluvuille n.
85. Jaska20.9.2020 klo 10:52
eolin huomio pitää paikkansa. Se ei kuitenkaan ole sellaisenaan villakoiran ydin. Joka on kuitenkin siinä selkeästi näkyvissä.
86. Jaska21.9.2020 klo 11:00
Muodostavat suoran kulman (8)
87. Matti21.9.2020 klo 14:18
Hep.
88. eol21.9.2020 klo 19:40
Minäkin löydän tuohon Jaskan tämänpäiväiseen vihjeeseen hyvin sopivan 8-kirjaimisen monikkomuotoisen sanan. Sitä en kuitenkaan hahmota, mitä lisäosviittaa se sana voisi antaa Jaskan hakeman villakoiran ytimen etsintään.
89. Jaska21.9.2020 klo 22:09
Ydintä ei olekaan helppo hiffata, koska alku hämää.
90. Jaska21.9.2020 klo 22:17
Tai sanotaan niin, että ydin ei ole näkyvissä. Se siis näkyy muualla. Odotellaan vielä huomisiltaan, sitten Matti voi raportoida huomionsa.
91. Jaska22.9.2020 klo 21:24
Matti, mihin päädyit?
92. Matti22.9.2020 klo 21:28
Ilmeisimmin haettu sana on kateetit. Mutta miten se liittyy Jaskan arvuuttelemaan lukujonoon, siitä ei ole havaintoa.
93. Jaska22.9.2020 klo 23:40
Valitettavasti pelkästään tuosta oikeasta ratkaisusta ei heru pisteitä. Osa tarkoittamistani kateeteista on siis näkyvissä eolin viestissä 84. Niiden summat muodostavat viestin 74. jonon, jonka virheen korjaus viestissä 75. Käännän niiden järjestyksen seuraavassa taulukossa. Kyseisen suorakulmaisten kolmioiden perusjoukon hypotenuusa on pariton kateetti + 2.

4 + 3 = 7
8 + 15 = 23
12 + 35 = 47
16 + 63 = 79
20 + 99 = 119
24 + 143 = 167
28 + 195 = 223
32 + 255 = 287
36 + 323 = 359
40 + 399 = 439
44 + 483 = 527
48 + 575 = 623
52 + 675 = 727
56 + 783 = 839
60 + 899 = 959
jne.

Hakusessa on summajonon tietty eroavaisuus kahden muun perusjoukon vastaavista kateettien summajonosta. Se ei ole ekan rivin paritonta kateettia 3 suurempi parillinen 4. Eroavaisuuden huomaaminen näin vähillä termeillä on tosin vaikeaa, kun siitä on yksi poikkeuskin.

Luonnollisesti ilman Pythagorastakin tehtävän ratkaisu olisi sama. Minusta konkretisointi kuitenkin elävöittää mahdolliseseti tylsältä tuntuvaa tehtävää.

Jatkuu
94. Jaska23.9.2020 klo 12:49
Mahd./toiv. ratkaiseva vihje. Poikkeus säännöstä on eka termi eli 7.
95. Matti24.9.2020 klo 00:55
eolilla on tarjolla kaksikin määritelmää yleiselle primitiiviselle kokonaislukujoukolle, postaukset 80 ja 82. Edellinen lienee "virallinen". Ei tämä kyllä lainkaan johda harhaan.

Päin vastoin, postauksessa 84 eol antaa Jaskan jonon eksplisiittisesti Pythagoraan kolmioon nojautuen: lausekkeiden 4n^2-1 ja 4n summman. Tämä on sama kuin postauksessa 76 annettu. Mutta ehkä Jaskalla on vielä jokin jännä näkökulma takataskussaan.
96. Jaska24.9.2020 klo 12:31
On eri näkökulma, jännyys on tietysti makuasia. Suoraan em. määriteimistä ratkaisua ei siis ole näköpiirissä. Matilla oli viestissä 76. oikea päätelmä, joka tietysti edellyttää enemmän tai vähemmän työlästä taulukkojen tutkintaa. Rajoitetaan se nyt seuraavaan lyhyeen kateettien summataulukkoon, joka helpottanee ainakin arvaamista.

*7 - *7 - 1 (teoreettinen 4 miinus 3)
23 - 17* - 17*
47 - *31 - 41*
79 - 49 - *73
119 - 71* - 113
167 - 97 - 161
223 - 127 - 217
287 - 161 - 281*
359 - *199 - 353
439 - *241 - *433
527 - 287 - 521*
623 - 337 - 617*
727 - 391 - 721
839 - 449 - 833
959 - 511 - 953
1087 - 577 - 1081
1223 - 647 - 1217
1367 - 721 - 1361
1519 - 799 - 1513
1679 - 881* - 1673
1847 - 967 - 1841
2023 - 1057 - 2017
2207 - 1151* - 2201
2399 - 1249 - 2393
2599 - 1351 - *2593




löydy, vaan se
97. Jaska24.9.2020 klo 13:38
Näköjään jotain jäi pyyhkimättä, vessassa on onneksi vielä muistanut.
98. eol25.9.2020 klo 01:01
Hieman tässä aina Jaskan uuden vihjeviestin jälkeen on sellainen tuntu kuin olisi saanut taas uuden hieroglyfikiven tarkasteltavaksi. Ehkäpä näistä vähitellen saa aina vain enemmän ja enemmän irti ...

Jaskan tuoreessa viestissä on siis kolme sarakkeellista primitiivisten Pythagoraan kolmikkojen kateettisummia. Vanha tuttu vasen sarake koostuu ns. Platonin perheestä ja keskimmäinen sarake ns. Pythagoraan perheestä.
Platonin perheen kolmikot ovat muotoa (a, b, a+2) ja Pythagoraan perheen muotoa (a, b, b+1). [Koska primitiivisen kolmikon kolmas luku (hypotenuusa) on aina pariton, niin kahdesta ensimmäisestä luvusta (kateetit) aina toinen on pariton ja toinen parillinen. Siten kummassakin näistä kahdesta tapauksesta nimenomaan a on pariton ja b parillinen.]

Platonin perheen kolmikon kateettipituuksille (ja kaikkein ensimmäisenä niiden summille Matin toimesta) on jo ylempänä annettu yleinen kaava.

Pythagoraan perheelle taas pätee

a(n) = 2n + 1
b(n) = 2n^2 + 2n

kaikille positivisille kokonaisluvuille n. Siten a+b = 2n^2 + 4n + 1 ja c = 2n^2 + 2n + 1. Ensimmäiset viisi näistä Pythagoraan perheen kolmikoista ovat:

(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(9, 40, 41)
(11, 60, 61)

Entäpä kolmas sarake sitten? Tälle perheelle en äkkiseltään löytänyt nimeä. Kateettipituuksille kuitenkin saadaan

a(n) = 4n^2 - 4n - 3
b(n) = 8n - 4

kaikille 1:tä suuremmille kokonaisluvuille. Siten a+b = 4n^2 + 4n - 7 ja c = 4n^2 - 4n + 5. Listataan taas ensimmäiset:

[n=1: (-3, 4, 5)]
(5, 12, 13)
(21, 20, 29)
(45, 28, 53)
(77, 36, 85)
(117, 44, 125)

Avoimia kysymyksiä minulle ovat vielä tässä vaiheessa ainakin seuraavat:
1) Miksi on valittu käsittelyyn juuri nämä 3 perhettä? [Esimerkiksi (33, 56, 65) on sellainen primitiivinen Pythagoraan kolmikko, joka ei kuulu mihinkään niistä. Sen sijaan (3, 4, 5) ja (5, 12, 13) kuuluvat kumpikin kahteen näistä perheistä. Lisäksi (3, 4, 5) ja Jaskan kolmannen perheen (21, 20, 29) kuuluvat myös ns. Fermat'n perheeseen, jossa abs(a-b) = 1.]
2) Mikä merkitys on tähdillä (*) Jaskan taulukon eräiden kateettisummien edessä / jäljessä?
3) Mikä on villakoiran ydin?
99. Jaska25.9.2020 klo 13:00
Tähtien merkitys on oleellinen. Oletan, että Matti voisi hiffata sen. En paljasta vielä, mutta jatkan lineaarisesti eolin mainitsemaa 33, 56, 65 -kolmikkoa. Ei silläkään ole sen kummoisempaa merkitystä kuin kateettisummien tietty poikkeavuus viestin 96. ekasta sarakkeesta. Asteriskeja on summasarakkeessa kaksi, ellen ollut huolimaton.

33, 56, 65
39, 80, 89
51, 140, 149
69, 260, 269
93, 476, 485
123, 836, 845
159, 1400, 1409
201, 2240, 2249
249, 3440, 3449
303, 5096, 5105
363, 7316, 7325

kateettien summat

89
119
191*
329
569*
959
1559
2441
3689
5399
7679

Askarruttaa seuraava huomio. Haulla pythagorean triples advanced math is fun löytyy kolmikkolista, jonka tekijä on Jayaraman Ganesh. Listasta puuttuvat ylläolevasta kolmikosta viisi viimeistä. En hoksaa syytä, miksi ne eivät mahdu JG:n listalle.
100. Jaska25.9.2020 klo 19:00
Asia selvisi luetun ymmärtämisellä. Listassa hypotenuusan yläraja on 1000.
101. Matti25.9.2020 klo 21:56
Kaikki Pythagoraan kolmiot (x,y,z) voidaan generoida lausekkeista z=m^2+n^2, y=m^2-n^2, x=2mn. Nyt nimittäin x^2+y^2=z^2. Joukosta voidaan erottaa "minimaaliset" kolmiot (ne joiden sivuilla ei ole yhteisiä tekijöitä) vaatimalla, että 0
102. Matti25.9.2020 klo 22:08
(Mitäs tää nyt pätkii)

vaatimalla, että 0
103. Matti25.9.2020 klo 22:11
En nyt saa tarinan loppuani läpi. Pahus, pitää kai yrittää vielä kerran. (Vai onko Samsungilla oma sisäinen sensuuri!)
104. Matias-Myyrä25.9.2020 klo 22:15
Matti, pienempi kuin merkki katkaisee viestin. Laita sen tilalle jokin muu merkki!
105. Matti25.9.2020 klo 22:25
vaatimalla, että 0
106. Matti25.9.2020 klo 22:36
vaatimalla, että 0 pienempi kuin n pienempi kuin m, että luvuilla m ja n on eri pariteetit ja m:llä ja n:llä ei ole yhteisiä tekijöitä. Tällöin yhdenmuotoisia kolmioita edustavista ekvivalenttiluokista valitaan edustajiksi pienimmät.

Tarkastellaan nyt kolmioita, joilla n=1. Kateetisummat ovat m^2-1+2m, m=2, 4, 6, 8, ... Kirjoitetaan m=2k, jolloin kateetisummat ovat 4k^2+4k-1, k=1, 2, 3, ... Tämä on Jaskan antama lukujono.

Vielä jää avoimeksi kysymys missä on pihvi?
107. Matti25.9.2020 klo 22:37
Matias-Myyrä, tarjoan oluet!
108. Matias-Myyrä25.9.2020 klo 22:39
:-)
109. Jaska25.9.2020 klo 23:28
Matti, pihvi on muualla kuin jonon anatomiassa. Myyrmannissakin sitä taannoin oli tarjolla, mutta et taida muistaa?
110. Matti26.9.2020 klo 00:04
Jaska, nyt on kyllä pakko sanoa, että raapii vaan tyhjää. Peikäänpä, että tähän tehtävään varaamani ruuti on nyt poltettu. Minun puolestani voit paljastaa ratkaisun.
111. Jaska26.9.2020 klo 10:32
OK. Puheenaiheenamme olivat mm. alkulukukaksoset, joihin edellä viittasin asteriskeilla. Tiedossa jo oli, että ratkaisu liittyy alkulukuihin. Niinpä pidin todennäköisenä, että joku havaitsee yhteyden. Piti siis tunnistaa ainakin pienimpiä alkulukuja. Se ei mielestäni ollut kohtuuton vaatimus, kun pitemmätkin listat ovat netissä ulottuvilla.

*7 tarkoitti siis kaksosparia 5, 7. Se on ainoa, jossa osapuolena on numeroon 5 (teknisesti) päättyvä alkuluku. Siis poikkeus kaikista muista pareista. Viestin 96. 25 termin listassa ekassa sarakkeessa oli siis vain yksi asteriski, kun kahdessa muussa sekä viestissä 99. oli useampia. Suorakulmaisten kolmioiden osalta ainoa ehdon täyttävä kateettien summa on siis 7 hypotenuusan ja parittoman kateetin erotuksen ollessa 2. Yleinen määritelmä: Ainoa alkulukukaksonen muotoa n^2 - 2 on 7.

Yksinkertainen ratkaisu, joka sittenkin saattoi olla liian vaikea keksittäväksi. Pahoittelut siitä.
112. Matti26.9.2020 klo 13:56
Jaska, ei mitään pahoitteluja, saatiinhan rautaisannos Pythagorasta. Juuri tällaisia pohdiskeluja varten tämä säie on olemassa.
113. Jukkis26.9.2020 klo 19:09
Emmä ainakaan tajunnut, mikä tässä oli ideana. Oli joukko lukuja ja sitten tuli lisää lukuja ja sitten vielä lisää lukuja. Niistä osa sattuu olemaan alkulukuja ja osa ei, ja alkuluvuista osa sattuu olemaan alkulukukaksosia ja osa ei. Ja vissiin olisi pitänyt osata arvata, että just ne kaksoset on se koiran ydin?

Ja mikä ihme on tämä "...5, 7. Se on ainoa, jossa osapuolena on numeroon 5 (teknisesti) päättyvä alkuluku. Siis poikkeus kaikista muista pareista"? Että tosiaan, ahaa, 5 on ainoa 5:een päättyvä alkuluku, ihanko totta?.

Että saisko se villakoiran ytimen vielä ihan selkosuomeksi, jos mahdollista?
114. Jaska27.9.2020 klo 00:09
Sisin ydin on siinä, että alkuluvut kaksospareineen eivät suostu asettumaan äärettömään lineaariseen jonoon (viimeinen erotusjono nollia). Mutta kaksoset eivät mahda mitään sille, että rangaistukseksi niiltä kaikilta on pääsy evätty jonoon n^-2 em. poikkeusta lukuun ottamatta.

Viestissä 96. esitin arvauksen, että summataulukko helpottanee ainakin arvaamista. Arvaukseni meni siis pieleen. Koska Matti kielsi pahoittelut, voin vain kehottaa Jukkista kestämään.
115. eol30.9.2020 klo 21:51
Edellä oli esillä Pythagoraan kolmikot: positiivisista kokonaisluvuista koostuvat sellaiset kolmikot (a, b, c) joille a^2 + b^2 = c^2. Erityisesti käsiteltiin sellaisia Pythagoraan kolmikkoja jotka ovat ns. primitiivisiä: luvuilla a, b ja c ei ole yhtään yhteistä alkutekijää (ts. niiden suurin yhteinen tekijä on 1).

Englanninkielisessä Wikipediassa todetaan - ilman todistusta - että jokaisella primitiivisellä Pythagoraan kolmikolla on mm. seuraavat ominaisuudet: "Exactly one of a, b is odd; c is odd." Miten tämä voidaan todistaa?
116. Jaska30.9.2020 klo 22:20
Neliöiden loppunumerot ynnäämällä.
117. eol30.9.2020 klo 23:01
En täysin pysty hahmottamaan Jaskan menetelmää. Yritän löytää sille vastaesimerkin: Olkoot a ja b parittomia siten, että a:n viimeinen on 5 ja b:n 7. Tällöin a^2:n ja b^2:n viimeiset numerot ovat 5 ja 9, ja summan a^2 + b^2 viimeinen numero on siten 4. Nyt kuitenkin löytyy kaksikin sellaista numeroa, jotka ollessaan luvun c viimeisenä numerona tuottavat c^2:n viimeiseksi numeroksi tuon saman numeron 4, nimittäin numerot 2 ja 8. - Tarvitaan siis vielä jotakin muuta, mutta mitä?
118. Jaska30.9.2020 klo 23:42
Loppupeleissä vertailtavaksi jää kateettien neliöiden summan loppunumerot 0, 4, 6 hypotenuusan neliön samoihin numeroihin 0, 4, 6. Summat muodostuvat kolmen lukujonon termien kombinaatioista:

100, 10000, 1000000 jne.
4, 64, 144, 324, 484, 784 jne.
16, 36, 196, 256, 576, 676 jne.

Noista ei mikään ole minkään kahden muun summa.
119. Jaska30.9.2020 klo 23:46
Siis kun nuo ovat parillisen hypotenuusan neliöitä, niistä mikään ei ole kahden parittoman kateetin neliöiden summa. Voidaan todeta kombinoimalla.
120. eol1.10.2020 klo 00:01
Minusta tuo ei sellaisenaan vieläkään riitä todistukseksi. "Voidaan todeta kombinoimalla" - miten se tapahtuu? Ei tuosta vielä pysty ulkopuolinen lukija (en ainakaan minä) arvioimaan, onko tarkoitettu todistus validi vai ei.
121. Matti1.10.2020 klo 00:53
a, b ja c eivät kaikki voi olla parillisia, koska kolmio on primitiivinen. Kaikki eivät voi olla parittomia, koska pariton + pariton = parillinen. Myöskään ei voi olla yksi pariton ja kaksi parillista. Voiko siis olla yksi parillinen ja kaksi paritonta? Voi olla, ja onkin, esim. 3, 4, 5.

Kaikki Pythagoraan kolmiot generoi lausekeryhmä m^2+n^2, m^2-n^2, 2mn. Viimeisen täytyy olla kateeti. Se on parillinen, ja siis hypotenuusa m^2+n^2 on pariton. ? (Halmos bar)

(Tämä generointijuttu pitäisi tietenkin sekin todistaa, mutta laistan sen.)
122. Matti1.10.2020 klo 00:56
Halmos bar ei suostunut tulostumaan :-)
123. Juhani Heino1.10.2020 klo 01:03
Jos katsotaan 4:n kongruensseja, parittoman luvun neliö on aina 1. (1*1 = 1; 3*3 = 9 = 1)
Parillisen luvun neliö on aina 0. (0*0 = 0; 2*2 = 4 = 0)
Eli kahden parittoman luvun neliöistä tulee summaksi 2, joten se ei voi olla parillisen luvun neliö.
124. eol1.10.2020 klo 01:44
Juhani Heinon todistus oli se, jota haettiin. Matin esittämä Eukleideen kaava tosiaan generoi kaikki primitiiviset kolmikot [mutta ei sellaisenaan kaikkia ei-primitiivisiä, esim. ei kolmikkoa (9, 12, 15), ks. englanninkielinen Wikipedia] ja implikoi siten väitteen sekin. Eukleideen kaavan todistus näyttää kuitenkin jonkin verran monimutkaiselta (mutta se löytyy kyllä englanninkielisestä Wikipediasta).
125. Jaska1.10.2020 klo 12:18
Tarkoitin kombinoimisella konkreettista todistusta. Tehdään tai kuvitellaan "sarjataulukko" eli ristikko, jossa kukin vaaka- ja pystyrivin ruutu eli kahden rivin risteys on kahden parittoman neliön summa. Näin muodostuvissa vaakariveissä kahden peräkkäisen termin erotusten erotusjono on aina 8. Kahden termin erotus on siis jaollinen luvulla 8.

Laaditaan numeroihin 0, 4, 6 päättyvistä neliöistä jonot. Todetaan niidenkin termien erotusten olevan aritmeettisia sarjoja. Jotta vastaoletus olisi oikea, pitäisi neliöistä löytyä säännöllisin etäisyyksin ääretön määrä tapauksia, joiden etäisyys lähimmästä pienemmästä ja suuremmasta summajonon termistä on 8:lla jaollinen. Näin ei kuitenkaan ole. Neliöiden jonojen termit suuruusjärjestyksessä muodostavat säännöllisiä syklejä, joiden termit aina ohittavat summajonon termit.
126. Jaska15.10.2020 klo 22:23
Lokajono kaksin kappalein. Mahdollisesti ei erittäin visainen, vaikka vähähkösti termejä.

2, 3, 5, 23, 29, 41, 53, 83, ?

2, 3, 7, 19, 31, 37, 79, 97, ?
127. Matti23.10.2020 klo 23:59
Jaska, saammeko lokajonoon vasta marrasratkaisun?
128. Jaska24.10.2020 klo 09:51
Näyttää joskus sovittu yhden viikon ratkonta-aika umpeutuneen eilen, sori. Vihje. Eka jono plus jokin plus summa on samaa sakkia. Toka jono miinus jokin plus erotus on niin ikään samaa sakkia.
129. Jaska24.10.2020 klo 09:52
Toissapäivänä.
130. Jaska25.10.2020 klo 09:57
1
131. Jaska26.10.2020 klo 21:41
Alkulukupäättely ilman täsmällistä ratkaisukaavaa ei onnistunut mahd. yrittäjien puutteessa. Vihje 1 tarkoitti kokonaislukujen jonossa termin jälkeisen ja edeltävän luvun erotusta. Ekan jonon termiin p siis lisätään p + 1, tokan jonon termiin p - 1. Summat ovat alkulukuja. Ekasta jonosta saadaan 5, 7, 11, 47, 59, 83, 107, 167, 179, ja kysytty 263 = 131 + 132. Tokasta 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193, 277 ja kysytty 313 = 157 + 156.

Marrasjonoksi katsastetaan jotain lineaarista.
132. eol26.10.2020 klo 23:16
Ilmeisesti ensimmäiseen jonoon on siis valittu kaikki sellaiset alkuluvut p joille myös 2p+1 on alkuluku, ja toiseen taas kaikki sellaiset alkuluvut p joille myös 2p-1 on alkuluku. Silloin alkuperäisessä tehtävässä kysytyt luvut (jotka kuuluvat kysymysmerkkien kohdalle) ovat nähtävästi 89 ja 139.
133. Jaska26.10.2020 klo 23:55
No niin muisti petti. Ei jaksanut tsekata, että alkuperäisessä oli kahdeksan eikä yhdeksän termiä.
134. Jukkis28.10.2020 klo 12:26
Sen lisäksi että näitä Jaskan pähkinöitä ei osaa ratkoa, myös vastausten selitykset tahtoo mennä yli hilseen. En tajua tuosta viestistä 131 juuri yhtään mitään.
135. Jaska28.10.2020 klo 12:55
Myönnän sumeuden, mutta asia lienee kuitenkin klaaraantunut eolin pelkistyksestä.
136. Jukkis28.10.2020 klo 13:24
Miten 132 voi olla 131:n pelkistys, kun siinä puhutaan ihan eri asiasta eli annetaan ihan eri vastaus?
137. Jaska28.10.2020 klo 17:30
5 + 6 = 11 ja 2*5 + 1 = 11. Ei aihetta enempään.
KOMMENTOI

Pakolliset kentät merkitty tähdellä *